É possível calcular um vetor t.q. e sejam linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se é possível encontrar um vetor no plano ( ) de tal forma que, junto com os vetores e , eles sejam linearmente independentes. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa linear independência e como verificar isso para um conjunto de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linear independência. Um conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, não tem como pegar alguns vetores do conjunto, multiplicar cada um por uns números (escalares) e somar tudo pra chegar em zero, a não ser que todos esses números sejam zero.
Matematicamente, para vetores , eles são linearmente independentes se a única solução para a equação:
é .

Passo 3

Agora, pensemos no espaço , que é o nosso plano. Nesse espaço, o número máximo de vetores que podemos ter de forma linearmente independente é 2. Isso porque qualquer terceiro vetor vai acabar podendo ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros.
Então, se a gente tiver três vetores no plano, sempre vai rolar de um deles ser combinação dos outros dois, ou seja, os três serão linearmente dependentes.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso exercício: queremos três vetores , e que sejam linearmente independentes. Mas, como vimos, no , não dá pra ter três vetores independentes. Sempre vai ter um deles que pode ser escrito como combinação dos outros dois.
Além disso, olhando rápido para os vetores e , percebemos que . Isso já mostra que esses dois vetores são linearmente dependentes. Então, qualquer vetor que a gente adicione, o conjunto continuará sendo dependente.

Resposta

Não, não é possível encontrar um vetor que, junto com e , seja linearmente independente no .

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Seja um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto é um subespaço de .
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Para cada matriz , obtenha o menor conjunto de vetores que geram o espaço solução de :
(a)