Seja o operador identidade (ou seja, para todo ) e considere uma base de . Determine a matriz que representa o operador em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um operador identidade, que simplesmente manda cada vetor para ele mesmo. Temos também uma base do espaço . O que a questão quer é descobrir a matriz representação desse operador identidade na base , ou seja, .
Pra resolver isso, vamos lembrar que uma matriz que representa um operador linear numa base é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base aplicados pelo operador, expressas nessa mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o operador identidade a cada vetor da base . Como , temos:
Ou seja, cada vetor da base permanece o mesmo após a aplicação do operador identidade.
Passo 3
Agora, precisamos expressar cada na base . Como , e já é um vetor da base , suas coordenadas nessa base são simplesmente:
Onde o está na posição -ésima, e os demais são zeros. Isso porque é exatamente o vetor -ésimo da base.
Passo 4
Com as coordenadas de cada imagem na base , a matriz é formada colocando esses vetores coluna um ao lado do outro. Como cada coluna tem um único na diagonal correspondente e zeros nas outras posições, a matriz resultante é a matriz identidade.
Resposta
A matriz que representa o operador identidade na base é a matriz identidade de ordem :