Seja I: R^n R^n o operador identidade (ou seja, I(v)=v para todo v in R^n ) e considere uma base alpha=v1, v2, ldots, vn de R^n. Determine a matriz [I]alpha^alpha que representa o operador I em relação à base alpha.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um operador identidade , que simplesmente manda cada vetor para ele mesmo. Temos também uma base do espaço . O que a questão quer é descobrir a matriz representação desse operador identidade na base , ou seja, .
Pra resolver isso, vamos lembrar que uma matriz que representa um operador linear numa base é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base aplicados pelo operador, expressas nessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o operador identidade a cada vetor da base I(vi) = vi para todo i = 1, 2, ldots, n . Como , temos:
Ou seja, cada vetor da base permanece o mesmo após a aplicação do operador identidade.

Passo 3

Agora, precisamos expressar cada [I(vi)]alpha = 0 vdots 1 vdots 0 na base . Como , e já é um vetor da base , suas coordenadas nessa base são simplesmente:
Onde o está na posição -ésima, e os demais são zeros. Isso porque é exatamente o vetor -ésimo da base.

Passo 4

Com as coordenadas de cada imagem na base , a matriz é formada colocando esses vetores coluna um ao lado do outro. Como cada coluna tem um único na diagonal correspondente e zeros nas outras posições, a matriz resultante é a matriz identidade .

Resposta

A matriz [I]alpha^alpha = In = 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 que representa o operador identidade na base é a matriz identidade de ordem :

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