Sabendo que (u, w, x)=2 e (v, w, x)=5, calcular (u, x,-w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas expressões envolvendo produtos mistos de vetores e nos pede para calcular uma terceira. O conteúdo aqui é produto misto de vetores, que usa propriedades de determinantes e álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular o produto misto e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (u, w, x) = 2. Esse é o produto misto dos vetores u, w e x. Ele pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado por esses vetores e é calculado usando o determinante de uma matriz com esses vetores como colunas.

Passo 3

A segunda expressão dada é (v, w, x) = 5. Mesmo raciocínio: isso representa o produto misto dos vetores v, w e x, indicando o volume do paralelepípedo formado por eles.

Passo 4

Agora, precisamos calcular (u, x, -w). Vamos usar uma propriedade importante do produto misto: trocar duas posições de vetores inverte o sinal do produto. Além disso, multiplicar um vetor por um escalar fora do produto misto multiplica o resultado pelo mesmo escalar.

Passo 5

Primeiro, vamos trocar x e -w na expressão (u, x, -w). Ao trocar x com -w, o sinal do produto misto muda:
(u, x, -w) = -(u, -w, x)

Passo 6

Agora, observe que temos um -w dentro do produto misto. Como multiplicar um vetor por -1 fora do produto misto, isso multiplicará o resultado final por -1:
-(u, -w, x) = -(-1) cdot (u, w, x)

Passo 7

Simplificando os sinais:
-(-1) cdot (u, w, x) = (u, w, x)

Passo 8

Sabemos que (u, w, x) = 2. Substituindo na expressão:
(u, w, x) = 2

Resposta

Portanto, (u, x, -w) = 2.

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