Sabendo que e , calcular

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas expressões envolvendo produtos mistos de vetores e nos pede para calcular uma terceira. O conteúdo aqui é produto misto de vetores, que usa propriedades de determinantes e álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular o produto misto e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse é o produto misto dos vetores , e . Ele pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado por esses vetores e é calculado usando o determinante de uma matriz com esses vetores como colunas.

Passo 3

A segunda expressão dada é . Mesmo raciocínio: isso representa o produto misto dos vetores , e , indicando o volume do paralelepípedo formado por eles.

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Vamos usar uma propriedade importante do produto misto: trocar duas posições de vetores inverte o sinal do produto. Além disso, multiplicar um vetor por um escalar fora do produto misto multiplica o resultado pelo mesmo escalar.

Passo 5

Primeiro, vamos trocar e na expressão . Ao trocar com , o sinal do produto misto muda:

Passo 6

Agora, observe que temos um dentro do produto misto. Como multiplicar um vetor por fora do produto misto, isso multiplicará o resultado final por :

Passo 7

Simplificando os sinais:

Passo 8

Sabemos que . Substituindo na expressão:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja o operador identidade (ou seja, para todo ) e considere uma base de . Determine a matriz que representa o operador em relação à base .
Determine as coordenadas do polinômio em relação à seguinte base de : .
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)