Sabendo que
e
, calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas expressões envolvendo produtos mistos de vetores e nos pede para calcular uma terceira. O conteúdo aqui é produto misto de vetores, que usa propriedades de determinantes e álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular o produto misto e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse é o produto misto dos vetores
,
e
. Ele pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado por esses vetores e é calculado usando o determinante de uma matriz com esses vetores como colunas.
Passo 3
A segunda expressão dada é
. Mesmo raciocínio: isso representa o produto misto dos vetores
,
e
, indicando o volume do paralelepípedo formado por eles.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Vamos usar uma propriedade importante do produto misto: trocar duas posições de vetores inverte o sinal do produto. Além disso, multiplicar um vetor por um escalar fora do produto misto multiplica o resultado pelo mesmo escalar.
Passo 5
Primeiro, vamos trocar
e
na expressão
. Ao trocar
com
, o sinal do produto misto muda:
Passo 6
Agora, observe que temos um
dentro do produto misto. Como multiplicar um vetor por
fora do produto misto, isso multiplicará o resultado final por
:
Passo 7
Simplificando os sinais:
Passo 8
Sabemos que
. Substituindo na expressão:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Seja
o operador identidade (ou seja,
para todo
) e considere uma base
de
. Determine a matriz
que representa o operador
em relação à base
.
Determine as coordenadas do polinômio
em relação à seguinte base de
:
.
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(b)
(b)