Sabendo que
e
, calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas expressões envolvendo produtos mistos de vetores e nos pede para calcular uma terceira. O conteúdo aqui é produto misto de vetores, que usa propriedades de determinantes e álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular o produto misto e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse é o produto misto dos vetores
,
e
. Ele pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado por esses vetores e é calculado usando o determinante de uma matriz com esses vetores como colunas.
Passo 3
A segunda expressão dada é
. Mesmo raciocínio: isso representa o produto misto dos vetores
,
e
, indicando o volume do paralelepípedo formado por eles.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Vamos usar uma propriedade importante do produto misto: trocar duas posições de vetores inverte o sinal do produto. Além disso, multiplicar um vetor por um escalar fora do produto misto multiplica o resultado pelo mesmo escalar.
Passo 5
Primeiro, vamos trocar
e
na expressão
. Ao trocar
com
, o sinal do produto misto muda:
Passo 6
Agora, observe que temos um
dentro do produto misto. Como multiplicar um vetor por
fora do produto misto, isso multiplicará o resultado final por
:
Passo 7
Simplificando os sinais:
Passo 8
Sabemos que
. Substituindo na expressão:
Resposta
Portanto,
.