Para cada uma das matrizes abaixo
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ]
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz e pede para encontrarmos uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz, além de determinarmos o posto dessa transformação. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos como imagem de uma transformação linear e posto da matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar as colunas que formam a base da imagem e como calcular o posto da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear representada por uma matriz A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Para encontrar uma base para essa imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes.

Passo 3

Para facilitar, vamos escrever a matriz dada:
A = 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1
Vamos analisar as colunas de A:
  • Coluna 1: 0 1 0
  • Coluna 2: -2 3 4
  • Coluna 3: 0 5 -1

Passo 4

Nosso próximo passo é verificar se alguma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras. Se não puder, todas são independentes e formam a base. Se puder, removemos a dependente.
Vamos tentar ver se a Coluna 3 pode ser escrita como combinação das Colunas 1 e 2:
c1 0 1 0 + c2 -2 3 4 = 0 5 -1
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. 0c1 -2c2 = 0 (pela primeira linha)
  2. c1 + 3c2 = 5 (pela segunda linha)
  3. 0c1 + 4c2 = -1 (pela terceira linha)

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
-2c2 = 0 c2 = 0
Substituindo c2 = 0 na segunda equação:
c1 + 0 = 5 c1 = 5
Agora, substituindo c2 = 0 na terceira equação:
4 cdot 0 = -1 0 = -1 → Contradição!
Isso significa que a Coluna 3 não pode ser escrita como combinação das Colunas 1 e 2. Portanto, todas as três colunas são linearmente independentes.

Passo 6

Como todas as três colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz A. O posto da matriz é o número de colunas independentes, que neste caso é 3.

Resposta

Uma base para a imagem da transformação é formada pelas três colunas da matriz:
0 1 0 , -2 3 4 , 0 5 -1
O posto dessa transformação é 3.

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