(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz e pede para encontrarmos uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz, além de determinarmos o posto dessa transformação. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos como imagem de uma transformação linear e posto da matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar as colunas que formam a base da imagem e como calcular o posto da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear representada por uma matriz A é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Para encontrar uma base para essa imagem, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes.
Passo 3
Para facilitar, vamos escrever a matriz dada:
Vamos analisar as colunas de A:
Coluna 1:
Coluna 2:
Coluna 3:
Passo 4
Nosso próximo passo é verificar se alguma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras. Se não puder, todas são independentes e formam a base. Se puder, removemos a dependente.
Vamos tentar ver se a Coluna 3 pode ser escrita como combinação das Colunas 1 e 2:
Isso nos dá o sistema de equações:
(pela primeira linha)
(pela segunda linha)
(pela terceira linha)
Passo 5
Resolvendo a primeira equação:
→
Substituindo na segunda equação:
→
Agora, substituindo na terceira equação:
→ → Contradição!
Isso significa que a Coluna 3 não pode ser escrita como combinação das Colunas 1 e 2. Portanto, todas as três colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Como todas as três colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz A. O posto da matriz é o número de colunas independentes, que neste caso é 3.
Resposta
Uma base para a imagem da transformação é formada pelas três colunas da matriz: