Mostre que T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(-y, x) não possui autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação não tem autovalores. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar autovalores de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que são autovalores. Um autovalor é um número escalar tal que existe um vetor não nulo para o qual . Isso significa que aplicar a transformação no vetor apenas o escala pelo fator .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Seja T(x, y) = (-y, x) um vetor não nulo em T(x, y) = lambda (x, y) . A transformação -y = lambda x x = lambda y aplicada a dá:
Segundo a definição de autovalor, queremos que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de x = lambda y . Da segunda equação, podemos expressar - y = lambda (lambda y) em termos de - y = lambda^2 y :
-1 = lambda^2
Substituindo isso na primeira equação:
lambda^2 = -1
Simplificando:
Como não é zero (porque o vetor é não nulo), podemos dividir ambos os lados por :
Isso nos dá:

Passo 5

A equação nos diz que devemos encontrar um número real cujo quadrado é igual a -1. No conjunto dos números reais, isso não é possível, porque o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, não existe nenhum número real que satisfaça essa equação.

Resposta

A transformação não possui autovalores reais.

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