Mostre que
definida por
não possui autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa transformação não tem autovalores. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar autovalores de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que são autovalores. Um autovalor
é um número escalar tal que existe um vetor não nulo
para o qual
. Isso significa que aplicar a transformação
no vetor
apenas o escala pelo fator
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Seja
um vetor não nulo em
. A transformação
aplicada a
dá:
Segundo a definição de autovalor, queremos que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de
. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na primeira equação:
Simplificando:
Como
não é zero (porque o vetor é não nulo), podemos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Passo 5
A equação
nos diz que devemos encontrar um número real cujo quadrado é igual a -1. No conjunto dos números reais, isso não é possível, porque o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, não existe nenhum número real
que satisfaça essa equação.
Resposta
A transformação
não possui autovalores reais.