Mostre que definida por não possui autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa transformação não tem autovalores. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar autovalores de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que são autovalores. Um autovalor é um número escalar tal que existe um vetor não nulo para o qual . Isso significa que aplicar a transformação no vetor apenas o escala pelo fator .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Seja um vetor não nulo em . A transformação aplicada a dá:
Segundo a definição de autovalor, queremos que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de . Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na primeira equação:
Simplificando:
Como não é zero (porque o vetor é não nulo), podemos dividir ambos os lados por :
Isso nos dá:

Passo 5

A equação nos diz que devemos encontrar um número real cujo quadrado é igual a -1. No conjunto dos números reais, isso não é possível, porque o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Portanto, não existe nenhum número real que satisfaça essa equação.

Resposta

A transformação não possui autovalores reais.

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Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(g)
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Defina concisamente o seguinte lugare geométrico e deduza a equação na forma canônica identificando seus elementos (focos, diretriz, centro, vértice,…).
a) Hipérbole.
Mostre que toda matriz simétrica é diagonalizável.