Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(b) dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformações lineares, que faz parte do conteúdo de Álgebra Linear. O que você precisa fazer é encontrar a matriz canônica de uma transformação linear que vai de para . A transformação está definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz canônica a partir das imagens dos vetores da base padrão de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear, a gente precisa aplicar em cada um dos vetores da base padrão de . A base padrão em é formada pelos vetores:
Cada imagem desses vetores sob vai se tornar uma coluna da matriz canônica que estamos procurando.

Passo 3

Vamos calcular para cada um desses vetores:
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base padrão, vamos organizar esses resultados como colunas na matriz canônica . Cada coluna de corresponde à imagem de , e respectivamente.
Então, a matriz canônica fica assim:

Resposta

A matriz canônica da transformação linear é:

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear dada por
© é sobrejetora? é injetora? é um isomorfismo? Justifique.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ dada por (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
Mostre que os polinômios formam uma base de .
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.