Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(b) T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, x+y-3 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformações lineares, que faz parte do conteúdo de Álgebra Linear. O que você precisa fazer é encontrar a matriz canônica de uma transformação linear T(x, y, z) = (x - 2y, , x + y - 3z) que vai de para . A transformação está definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz canônica a partir das imagens dos vetores da base padrão de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear, a gente precisa aplicar e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) em cada um dos vetores da base padrão de . A base padrão em é formada pelos vetores:
Cada imagem desses vetores sob vai se tornar uma coluna da matriz canônica que estamos procurando.

Passo 3

Vamos calcular T(1, 0, 0) = (1 - 2 cdot 0, , 1 + 0 - 3 cdot 0) = (1, , 1) para cada um desses vetores:
  1. Aplicando T(0, 1, 0) = (0 - 2 cdot 1, , 0 + 1 - 3 cdot 0) = (-2, , 1) em T(0, 0, 1) = (0 - 2 cdot 0, , 0 + 0 - 3 cdot 1) = (0, , -3) :
  1. Aplicando em :
  1. Aplicando em :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base padrão, vamos organizar esses resultados como colunas na matriz canônica A = 1 & -2 & 0 1 & 1 & -3 . Cada coluna de corresponde à imagem de , e respectivamente.
Então, a matriz canônica fica assim:

Resposta

A matriz canônica da transformação linear A = 1 & -2 & 0 1 & 1 & -3 é:

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