Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(b)
dada por
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformações lineares, que faz parte do conteúdo de Álgebra Linear. O que você precisa fazer é encontrar a matriz canônica de uma transformação linear
que vai de
para
. A transformação está definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz canônica a partir das imagens dos vetores da base padrão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear, a gente precisa aplicar
em cada um dos vetores da base padrão de
. A base padrão em
é formada pelos vetores:
Cada imagem desses vetores sob
vai se tornar uma coluna da matriz canônica que estamos procurando.
Passo 3
Vamos calcular
para cada um desses vetores:
- Aplicando
em :
- Aplicando
em :
- Aplicando
em :
Passo 4
Agora que temos as imagens dos vetores da base padrão, vamos organizar esses resultados como colunas na matriz canônica
. Cada coluna de
corresponde à imagem de
,
e
respectivamente.
Então, a matriz canônica
fica assim:
Resposta
A matriz canônica da transformação linear
é:
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
dada por
©
é sobrejetora?
é injetora?
é um isomorfismo? Justifique.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ dada por
(conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
§
Mostre que os polinômios
formam uma base de
.
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.