Vamos mostrar que os polinômios , , e formam uma base para o espaço . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e espaços vetoriais. Para provar que esses polinômios são uma base, precisamos verificar duas coisas: linearidade independente e geração do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
for a única solução quando , então os polinômios são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos expandir a expressão acima:
Isso fica:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
Da última equação:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Passo 7
Como a única solução para o sistema é , isso significa que os polinômios são linearmente independentes.