Mostre que os polinômios formam uma base de .

Passo 1

Vamos mostrar que os polinômios , , e formam uma base para o espaço . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e espaços vetoriais. Para provar que esses polinômios são uma base, precisamos verificar duas coisas: linearidade independente e geração do espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
for a única solução quando , então os polinômios são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos expandir a expressão acima:
Isso fica:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da última equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Da segunda equação:
  4. Da primeira equação:

Passo 7

Como a única solução para o sistema é , isso significa que os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios , , e formam uma base de .

Exercícios relacionados

Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(b) dada por .
Considere a transformação linear dada por
© é sobrejetora? é injetora? é um isomorfismo? Justifique.
Para cada uma das matrizes abaixo
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(g)