Mostre que os polinômios 1,1+t, 1-t^2, 1-t^2-t^3 formam uma base de P3(R).

Passo 1

Vamos mostrar que os polinômios , , e formam uma base para o espaço . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e espaços vetoriais. Para provar que esses polinômios são uma base, precisamos verificar duas coisas: linearidade independente e geração do espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
a cdot 1 + b cdot (1 + t) + c cdot (1 - t^2) + d cdot (1 - t^2 - t^3) = 0
for a única solução quando , então os polinômios são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos expandir a expressão acima:
a cdot 1 + b cdot (1 + t) + c cdot (1 - t^2) + d cdot (1 - t^2 - t^3) = 0
Isso fica:
a + b + bt + c - ct^2 + d - dt^2 - dt^3 = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b + c + d) + bt + (-c - d)t^2 - dt^3 = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c + d = 0 b = 0 - c - d = 0 - d = 0

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da última equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Da segunda equação:
  4. Da primeira equação:

Passo 7

Como a única solução para o sistema é , isso significa que os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios , , e formam uma base de .

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