Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico usando determinantes, encontrar as raízes desse polinômio para achar os autovalores e depois resolver sistemas lineares para achar os autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico. Para isso, usamos a fórmula:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Subtraindo da diagonal de , temos:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante de :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Fatorando:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos o polinômio característico , vamos encontrar os autovalores resolvendo :
As soluções são:
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso leva ao sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
A terceira equação confirma a mesma relação. Então, os vetores do autoespaço são da forma:
Portanto, o autoespaço associado a é gerado por .
Para :
Resolvemos :
Isso leva ao sistema:
Da primeira equação, . Da terceira, .
Então, os vetores do autoespaço são da forma:
Portanto, o autoespaço associado a é gerado por .

Resposta

  • Polinômio Característico:
  • Autovalores: e
  • Autoespaços:
    • Para : ç
    • Para : ç

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