Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz:
1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico usando determinantes, encontrar as raízes desse polinômio para achar os autovalores e depois resolver sistemas lineares para achar os autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico. Para isso, usamos a fórmula:
p(lambda) = det(A - lambda I)
Onde A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 0 & 1 - lambda & 0 1 & 3 & 1 - lambda é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Subtraindo da diagonal de , temos:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 3 & 1 - lambda - 2 cdot det 0 & 0 1 & 1 - lambda + 1 cdot det 0 & 1 - lambda 1 & 3 :