Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico usando determinantes, encontrar as raízes desse polinômio para achar os autovalores e depois resolver sistemas lineares para achar os autoespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico. Para isso, usamos a fórmula:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Subtraindo da diagonal de , temos:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Calculando o determinante de :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Fatorando:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos o polinômio característico , vamos encontrar os autovalores resolvendo :
As soluções são:
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso leva ao sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
A terceira equação confirma a mesma relação. Então, os vetores do autoespaço são da forma: