Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(g) [lll1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz:
1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico usando determinantes, encontrar as raízes desse polinômio para achar os autovalores e depois resolver sistemas lineares para achar os autoespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico. Para isso, usamos a fórmula:
p(lambda) = det(A - lambda I)
Onde A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 0 & 1 - lambda & 0 1 & 3 & 1 - lambda é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Subtraindo da diagonal de , temos:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 3 & 1 - lambda - 2 cdot det 0 & 0 1 & 1 - lambda + 1 cdot det 0 & 1 - lambda 1 & 3 :
det 1 - lambda & 0 3 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2 - 0 cdot 3 = (1 - lambda)^2
Calculando cada determinante menor:
det 0 & 0 1 & 1 - lambda = 0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot 1 = 0
det 0 & 1 - lambda 1 & 3 = 0 cdot 3 - (1 - lambda) cdot 1 = - (1 - lambda)
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)^2 - 2 cdot 0 + 1 cdot (-(1 - lambda)) = (1 - lambda)^3 - (1 - lambda)
Substituindo de volta:
(1 - lambda)^3 - (1 - lambda) = (1 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 1] = (1 - lambda)[1 - 2lambda + lambda^2 - 1] = (1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda)
Fatorando:
p(lambda) = lambda(lambda - 1)^2
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos o polinômio característico lambda(lambda - 1)^2 = 0 , vamos encontrar os autovalores resolvendo lambda = 0 e lambda = 1 :
As soluções são:
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para 1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 1 x1 x2 x3 = 0 0 0 :
Resolvemos x1 + 2x2 + x3 = 0 x2 = 0 x1 + 3x2 + x3 = 0 :

[
x1 + x3 = 0 Rightarrow x1 = -x3
x = - x3 0 x3 = x3 -1 0 1

-1 0 1
]
Isso leva ao sistema:
A - I = 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0
Da segunda equação, 2x2 + x3 = 0 0 = 0 x1 + 3x2 = 0 . Substituindo na primeira equação:
x = -3x2 x2 -2x2 = x2 -3 1 -2
A terceira equação confirma a mesma relação. Então, os vetores do autoespaço são da forma:
-3 1 -2
Portanto, o autoespaço associado a é gerado por .
Para :
Resolvemos :
Isso leva ao sistema:
Da primeira equação, . Da terceira, .
Então, os vetores do autoespaço são da forma:
Portanto, o autoespaço associado a é gerado por .

Resposta

  • Polinômio Característico: Autoespaço = x -1 0 1 , | , x in R
  • Autovalores: Autoespaço = x -3 1 -2 , | , x in R e
  • Autoespaços:
    • Para : ç
    • Para : ç

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