Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz tal que .
(a)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar uma matriz tal que , onde a matriz é:
Aqui, estamos trabalhando com matrizes quadradas e o conceito de produto de matrizes. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e resolver um sistema de equações para encontrar os elementos de .

Passo 2

Vamos supor que a matriz também seja uma matriz e tenha a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que fazem .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular :
Agora, igualamos cada elemento de ao correspondente em :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
  1. Equações (2) e (3):
    • Da equação (2):
    • Da equação (3):
    Se dividirmos a segunda pela primeira, temos:
  2. Substituindo nas equações (1) e (4):
    • Na equação (1):
    • Na equação (4):
  3. Da equação (2):
  4. Agora, da equação (2a), podemos expressar em termos de e :
  5. Substituindo na equação (4a):
    Expandindo:
  6. Da equação (1a), sabemos que . Substituindo na equação acima:
    Simplificando:
  7. Vamos assumir que para simplificar:
    • Então,
    • Da equação (2a):
    • Da equação (1a):
  8. Testando :
    • Verificando na equação (4a):
    • Portanto, , , , é uma solução válida.
    • Testando :
      • Verificando na equação (4a):
        ã
    • Assim, a única solução válida é , , , .

Resposta

A matriz que satisfaz é:

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Mostre que a matriz
não é diagonalizável.
Seja uma matriz diagonalizável com autovalores iguais a 1 ou -1 . Mostre que é não-singular e que . Dica: use a fatoração para concluir que .
Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz tal que .
(b)
Represente o tetraedro no sistema Oxyz.