Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz B tal que B^2=A.
(a) A=[rr2 & 1 -2 & -1]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar uma matriz A = 2 & 1 -2 & -1 tal que , onde a matriz é:
Aqui, estamos trabalhando com matrizes quadradas e o conceito de produto de matrizes. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e resolver um sistema de equações para encontrar os elementos de .

Passo 2

Vamos supor que a matriz B = a & b c & d também seja uma matriz e tenha a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que fazem .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular B^2 = B times B = a & b c & d times a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d a c + c d & b c + d^2 :
a^2 + b c = 2 (1) a b + b d = 1 (2) a c + c d = -2 (3) b c + d^2 = -1 (4)
Agora, igualamos cada elemento de ao correspondente em :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
  1. Equações (2) e (3):
    • Da equação (2): cb = -21 implies c = -2b
    • Da equação (3): a^2 + b(-2b) = a^2 - 2b^2 = 2 (1a)
    Se dividirmos a segunda pela primeira, temos:
    b(-2b) + d^2 = -2b^2 + d^2 = -1 (4a)
  2. Substituindo a + d = 1b (2a) nas equações (1) e (4):
    • Na equação (1):
      d = 1b - a
    • Na equação (4):
      -2b^2 + (1b - a)^2 = -1
  3. Da equação (2):
    -2b^2 + 1b^2 - 2ab + a^2 = -1
  4. Agora, da equação (2a), podemos expressar -2b^2 + 1b^2 - 2ab + (2 + 2b^2) = -1 em termos de 1b^2 - 2ab + 2 = -1 implies 1b^2 - 2ab = -3 e -2(1)^2 + (-1)^2 = -2 + 1 = -1 checkmark :
    -2(1)^2 + (3)^2 = -2 + 9 = 7 neq -1 Não funciona
  5. Substituindo na equação (4a):
    Expandindo:
  6. Da equação (1a), sabemos que . Substituindo na equação acima:
    Simplificando:
  7. Vamos assumir que para simplificar:
    • Então,
    • Da equação (2a):
    • Da equação (1a):
  8. Testando :
    • Verificando na equação (4a):
    • Portanto, , , , é uma solução válida.
    • Testando :
      • Verificando na equação (4a):
        ã
    • Assim, a única solução válida é , , , .

Resposta

A matriz B = 2 & 1 -2 & -1 que satisfaz é:

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