Mostre que a matriz
não é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz específica e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Isso envolve entender conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz, verificar suas multiplicidades e ver se conseguimos um conjunto completo de autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz:
Os autovalores são 2, 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a multiplicidade algébrica de cada autovalor. Isso significa quantas vezes cada autovalor aparece. No nosso caso:
  • O autovalor 2 aparece duas vezes.
  • O autovalor 3 aparece uma vez.
Então, a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e a de 3 é 1.

Passo 4

Em seguida, precisamos descobrir a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, quantos autovetores distintos temos para cada um. Para fazer isso, vamos resolver a equação para cada autovalor .
Para :
Subtraindo 2 da diagonal principal:
Resolvendo , obtemos:
Isso significa que pode ser qualquer número, enquanto e devem ser zero. Portanto, a multiplicidade geométrica de 2 é 1.
Para :
Subtraindo 3 da diagonal principal:
Resolvendo , obtemos:
Portanto, todos os componentes são iguais: . Isso significa que existe apenas um autovetor independente para , então a multiplicidade geométrica de 3 é 1.

Passo 5

Agora, vamos comparar as multiplicidades algébricas e geométricas:
  • Autovalor 2:
    • Multiplicidade algébrica: 2
    • Multiplicidade geométrica: 1
  • Autovalor 3:
    • Multiplicidade algébrica: 1
    • Multiplicidade geométrica: 1
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No caso do autovalor 2, a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2). Isso significa que não temos um conjunto completo de autovetores para diagonalizar a matriz.

Resposta

Portanto, a matriz dada não é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Seja uma matriz diagonalizável com autovalores iguais a 1 ou -1 . Mostre que é não-singular e que . Dica: use a fatoração para concluir que .
Encontre uma matriz com autovalores 1 e 4 e autovetores e , respectivamente. Dica: use a fatoração .
Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz tal que .
(a)
Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz tal que .
(b)