Mostre que a matriz
[lll 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ]
não é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz específica e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Isso envolve entender conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz, verificar suas multiplicidades e ver se conseguimos um conjunto completo de autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz:
[lll 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ]
Os autovalores são 2, 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a multiplicidade algébrica de cada autovalor. Isso significa quantas vezes cada autovalor aparece. No nosso caso:
  • O autovalor 2 aparece duas vezes.
  • O autovalor 3 aparece uma vez.
Então, a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e a de 3 é 1.

Passo 4

Em seguida, precisamos descobrir a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, quantos autovetores distintos temos para cada um. Para fazer isso, vamos resolver a equação (A - lambda I)v = 0 para cada autovalor lambda.
Para lambda = 2:
Subtraindo 2 da diagonal principal:
A - 2I = [lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 ]
Resolvendo (A - 2I)v = 0, obtemos:
  • 0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 Rightarrow v2 = 0
  • 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
Isso significa que v1 pode ser qualquer número, enquanto v2 e v3 devem ser zero. Portanto, a multiplicidade geométrica de 2 é 1.
Para lambda = 3:
Subtraindo 3 da diagonal principal:
A - 3I = [lll -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 ]
Resolvendo (A - 3I)v = 0, obtemos:
  • -v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = v1
  • -v2 + v3 = 0 Rightarrow v3 = v2 = v1
Portanto, todos os componentes são iguais: v1 = v2 = v3. Isso significa que existe apenas um autovetor independente para lambda = 3, então a multiplicidade geométrica de 3 é 1.

Passo 5

Agora, vamos comparar as multiplicidades algébricas e geométricas:
  • Autovalor 2:
    • Multiplicidade algébrica: 2
    • Multiplicidade geométrica: 1
  • Autovalor 3:
    • Multiplicidade algébrica: 1
    • Multiplicidade geométrica: 1
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No caso do autovalor 2, a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2). Isso significa que não temos um conjunto completo de autovetores para diagonalizar a matriz.

Resposta

Portanto, a matriz dada não é diagonalizável.

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