Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz específica e queremos descobrir se ela é diagonalizável. Isso envolve entender conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz, verificar suas multiplicidades e ver se conseguimos um conjunto completo de autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, olhando para a matriz:
[lll 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ]
Os autovalores são 2, 2 e 3.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a multiplicidade algébrica de cada autovalor. Isso significa quantas vezes cada autovalor aparece. No nosso caso:
O autovalor 2 aparece duas vezes.
O autovalor 3 aparece uma vez.
Então, a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e a de 3 é 1.
Passo 4
Em seguida, precisamos descobrir a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, quantos autovetores distintos temos para cada um. Para fazer isso, vamos resolver a equação (A - lambda I)v = 0 para cada autovalor lambda.
Isso significa que v1 pode ser qualquer número, enquanto v2 e v3 devem ser zero. Portanto, a multiplicidade geométrica de 2 é 1.
Para lambda = 3:
Subtraindo 3 da diagonal principal:
A - 3I = [lll -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 ]
Resolvendo (A - 3I)v = 0, obtemos:
-v1 + v2 = 0Rightarrowv2 = v1
-v2 + v3 = 0Rightarrowv3 = v2 = v1
Portanto, todos os componentes são iguais: v1 = v2 = v3. Isso significa que existe apenas um autovetor independente para lambda = 3, então a multiplicidade geométrica de 3 é 1.
Passo 5
Agora, vamos comparar as multiplicidades algébricas e geométricas:
Autovalor 2:
Multiplicidade algébrica: 2
Multiplicidade geométrica: 1
Autovalor 3:
Multiplicidade algébrica: 1
Multiplicidade geométrica: 1
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No caso do autovalor 2, a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2). Isso significa que não temos um conjunto completo de autovetores para diagonalizar a matriz.