Seja uma matriz diagonalizável com autovalores iguais a 1 ou -1 . Mostre que é não-singular e que . Dica: use a fatoração para concluir que .
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma matriz quadrada de dimensão que é diagonalizável. Isso significa que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz de autovetores e é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal. Os autovalores de são 1 ou -1. Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
não é singular, ou seja, ela tem inversa.
A inversa de é ela mesma, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar a fatoração dada e algumas propriedades das matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser diagonalizável. Isso quer dizer que existe uma matriz invertível tal que podemos escrever , onde é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores de . No nosso caso, esses autovalores são 1 ou -1.
Uma propriedade importante aqui é que se todos os autovalores de são diferentes de zero, então é não singular, ou seja, ela tem uma inversa. Como os autovalores são 1 ou -1, nenhum deles é zero. Logo, n��o é singular.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que . Começamos elevando ao quadrado:
Como (a matriz identidade), isso simplifica para:
Passo 4
Sabemos que os autovalores de são 1 ou -1. Então, quando elevamos ao quadrado, cada elemento na diagonal fica:
Portanto, .
Passo 5
Substituindo isso na expressão de :
Isso mostra que , onde é a matriz identidade.
Passo 6
Se , então multiplicando ambos os lados por , temos:
Ou seja, .
Resposta
A matriz é não-singular e sua inversa é ela própria, ou seja, .