Seja A uma matriz n times n diagonalizável com autovalores iguais a 1 ou -1 . Mostre que A é não-singular e que A^-1=A. Dica: use a fatoração A=X Lambda X^-1 para concluir que A^2=I.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma matriz quadrada de dimensão que é diagonalizável. Isso significa que ela pode ser escrita como , onde é uma matriz de autovetores e é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal. Os autovalores de são 1 ou -1. Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. não é singular, ou seja, ela tem inversa.
  2. A inversa de é ela mesma, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar a fatoração dada e algumas propriedades das matrizes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser diagonalizável. Isso quer dizer que existe uma matriz invertível tal que podemos escrever , onde é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores de . No nosso caso, esses autovalores são 1 ou -1.
Uma propriedade importante aqui é que se todos os autovalores de são diferentes de zero, então é não singular, ou seja, ela tem uma inversa. Como os autovalores são 1 ou -1, nenhum deles é zero. Logo, n��o é singular.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que A^2 = (X Lambda X^-1) (X Lambda X^-1) = X Lambda X^-1 X Lambda X^-1 . Começamos elevando A^2 = X Lambda^2 X^-1 ao quadrado:
Como (a matriz identidade), isso simplifica para:

Passo 4

Sabemos que os autovalores de Lambda^2 = 1^2 & 0 & cdots & 0 0 & (-1)^2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & (-1)^2 = I são 1 ou -1. Então, quando elevamos ao quadrado, cada elemento na diagonal fica:
Portanto, .

Passo 5

Substituindo isso na expressão de A^2 = X I X^-1 = X X^-1 = I :
Isso mostra que , onde é a matriz identidade.

Passo 6

Se A^-1 A^2 = A^-1 I implies A = A^-1 , então multiplicando ambos os lados por , temos:
Ou seja, .

Resposta

A matriz é não-singular e sua inversa é ela própria, ou seja, .

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