Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz tal que .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz dada. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e suas propriedades. Para isso, vamos precisar entender como operar com matrizes triangulares e como calcular o quadrado de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, observe que a matriz é uma matriz triangular superior. Isso significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma coisa legal sobre matrizes triangulares superiores é que seu quadrado também será uma matriz triangular superior. Por isso, podemos supor que a matriz que estamos procurando também será triangular superior.
Passo 3
Vamos representar a matriz B = b11 & b12 & b13 0 & b22 & b23 0 & 0 & b33 da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , , , e que satisfazem .
Passo 4
Começamos comparando as diagonais de B^2 = b11^2 & * & * 0 & b22^2 & * 0 & 0 & b33^2 e A = 9 & -5 & 3 0 & 4 & 3 0 & 0 & 1 . O produto de uma matriz triangular superior por ela mesma nos dá:
Agora, vamos encontrar os elementos acima da diagonal. O elemento b12 times b22 + b11 times b12 = 2b12 + 3b12 = 5b12 no produto 5b12 = -5 Rightarrow b12 = -1 é dado por:
Sabemos que isso deve ser igual a -5 (elemento correspondente em ):
Passo 6
Em seguida, o elemento b11 times b13 + b12 times b23 + b13 times b33 = 3b13 + (-1)b23 + b13 = 4b13 - b23 no produto 4b13 - b23 = 3 é:
Sabemos que isso deve ser igual a 3:
Ainda temos uma equação com duas incógnitas. Vamos usar o elemento para resolver isso.
Passo 7
O elemento b22 times b23 + b23 times b33 = 2b23 + b23 = 3b23 no produto 3b23 = 3 Rightarrow b23 = 1 é:
Sabemos que isso deve ser igual a 3:
Passo 8
Agora que temos 4b13 - 1 = 3 Rightarrow 4b13 = 4 Rightarrow b13 = 1 , podemos substituir na equação do Passo 6:
Resposta
A matriz B = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1 que satisfaz é: