Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz B tal que B^2=A.
(b) A=[rrr9 & -5 & 3 0 & 4 & 3 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz dada. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e suas propriedades. Para isso, vamos precisar entender como operar com matrizes triangulares e como calcular o quadrado de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, observe que a matriz é uma matriz triangular superior. Isso significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma coisa legal sobre matrizes triangulares superiores é que seu quadrado também será uma matriz triangular superior. Por isso, podemos supor que a matriz que estamos procurando também será triangular superior.

Passo 3

Vamos representar a matriz B = b11 & b12 & b13 0 & b22 & b23 0 & 0 & b33 da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , , , e que satisfazem .

Passo 4

Começamos comparando as diagonais de B^2 = b11^2 & * & * 0 & b22^2 & * 0 & 0 & b33^2 e A = 9 & -5 & 3 0 & 4 & 3 0 & 0 & 1 . O produto de uma matriz triangular superior por ela mesma nos dá:
b11^2 = 9 Rightarrow b11 = 3 (vamos considerar a raiz positiva)
Comparando com b22^2 = 4 Rightarrow b22 = 2 :
b33^2 = 1 Rightarrow b33 = 1
Podemos igualar as diagonais:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os elementos acima da diagonal. O elemento b12 times b22 + b11 times b12 = 2b12 + 3b12 = 5b12 no produto 5b12 = -5 Rightarrow b12 = -1 é dado por:
Sabemos que isso deve ser igual a -5 (elemento correspondente em ):

Passo 6

Em seguida, o elemento b11 times b13 + b12 times b23 + b13 times b33 = 3b13 + (-1)b23 + b13 = 4b13 - b23 no produto 4b13 - b23 = 3 é:
Sabemos que isso deve ser igual a 3:
Ainda temos uma equação com duas incógnitas. Vamos usar o elemento para resolver isso.

Passo 7

O elemento b22 times b23 + b23 times b33 = 2b23 + b23 = 3b23 no produto 3b23 = 3 Rightarrow b23 = 1 é:
Sabemos que isso deve ser igual a 3:

Passo 8

Agora que temos 4b13 - 1 = 3 Rightarrow 4b13 = 4 Rightarrow b13 = 1 , podemos substituir na equação do Passo 6:

Resposta

A matriz B = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1 que satisfaz é:

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