Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz tal que .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz tal que , onde é a matriz dada. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e suas propriedades. Para isso, vamos precisar entender como operar com matrizes triangulares e como calcular o quadrado de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, observe que a matriz é uma matriz triangular superior. Isso significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma coisa legal sobre matrizes triangulares superiores é que seu quadrado também será uma matriz triangular superior. Por isso, podemos supor que a matriz que estamos procurando também será triangular superior.
Passo 3
Vamos representar a matriz da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , , , e que satisfazem .
Passo 4
Começamos comparando as diagonais de e . O produto de uma matriz triangular superior por ela mesma nos dá:
Comparando com :
Podemos igualar as diagonais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os elementos acima da diagonal. O elemento no produto é dado por:
Sabemos que isso deve ser igual a -5 (elemento correspondente em ):
Passo 6
Em seguida, o elemento no produto é:
Sabemos que isso deve ser igual a 3:
Ainda temos uma equação com duas incógnitas. Vamos usar o elemento para resolver isso.
Passo 7
O elemento no produto é:
Sabemos que isso deve ser igual a 3:
Passo 8
Agora que temos , podemos substituir na equação do Passo 6: