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Seja uma transformação linear. Prove que:
a) é sobrejetora se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear e precisa provar que é sobrejetora se e somente se a dimensão da imagem de é igual à dimensão de . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares, imagem, e dimensão. Vamos precisar lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora e como relacionar isso com a dimensão das imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora (ou “sobre”) quando todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de . Ou seja, para todo , existe um tal que . Isso significa que a imagem de cobre todo o espaço .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Quando dizemos , estamos afirmando que a imagem de tem a mesma “tamanho” em termos de dimensão que .
Passo 4
Vamos provar a implicação em duas partes:
Primeira parte: Se é sobrejetora, então .
Como é sobrejetora, . Portanto, a dimensão da imagem de é igual à dimensão de :
Segunda parte: Se , então é sobrejetora.
Se a dimensão da imagem de é igual à dimensão de , isso implica que a imagem de tem uma base que também é uma base para . Logo, , o que significa que é sobrejetora.
Resposta
Portanto, provamos que é sobrejetora se e somente se .