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Seja
uma transformação linear. Prove que:
a)
é sobrejetora se, e somente se,
Seja
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
e precisa provar que
é sobrejetora se e somente se a dimensão da imagem de
é igual à dimensão de
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transformações lineares, imagem, e dimensão. Vamos precisar lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora e como relacionar isso com a dimensão das imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora (ou “sobre”) quando todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Ou seja, para todo
, existe um
tal que
. Isso significa que a imagem de
cobre todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Quando dizemos
, estamos afirmando que a imagem de
tem a mesma “tamanho” em termos de dimensão que
.
Passo 4
Vamos provar a implicação em duas partes:
Primeira parte: Se
é sobrejetora, então
.
Como
é sobrejetora,
. Portanto, a dimensão da imagem de
é igual à dimensão de
:
Segunda parte: Se
, então
é sobrejetora.
Se a dimensão da imagem de
é igual à dimensão de
, isso implica que a imagem de
tem uma base que também é uma base para
. Logo,
, o que significa que
é sobrejetora.
Resposta
Portanto, provamos que
é sobrejetora se e somente se
.