Verifique se os vetores dados são autovetores das matrizes por meio da multiplicação e encontre um autovalor correspondente:
v=(1,2,1),[lll4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 e uma matriz . A pergunta é para verificar se é um autovetor da matriz usando multiplicação, ou seja, se existe um número tal que . Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar uma matriz por um vetor e entender o conceito de autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovetor e autovalor. Um autovetor A v = lambda v de uma matriz é aquele que, quando é multiplicada por , o resultado é o próprio vetor multiplicado por um número escalar , que é chamado de autovalor. Isso pode ser escrito como:
Então, se conseguirmos encontrar um que satisfaça essa equação, é um autovetor de com o autovalor .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação da matriz A v = 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 1 2 1 pelo vetor 4 times 1 + 0 times 2 + 1 times 1 = 4 + 0 + 1 = 5 . A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita somando os produtos dos elementos de cada linha da matriz pelos elementos correspondentes do vetor.
2 times 1 + 3 times 2 + 2 times 1 = 2 + 6 + 2 = 10
Calculando cada componente:
  • Primeira linha:
    1 times 1 + 0 times 2 + 4 times 1 = 1 + 0 + 4 = 5
  • Segunda linha:
    A v = 5 10 5
  • Terceira linha:
Então, temos:

Passo 4

Agora, com o resultado da multiplicação 5 10 5, vamos verificar se isso é igual a lambda v = lambda 1 2 1 = lambda 2lambda lambda .
Primeiro, escrevemos lambda = 5 2lambda = 10 lambda = 5 :
Agora, igualamos os componentes correspondentes:

Passo 5

Resolvendo as equações, vemos que todas são consistentes com . Isso confirma que com .

Resposta

Sim, o vetor é um autovetor da matriz dada, com o autovalor correspondente .

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