(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para, usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determinarmos a nulidade da transformação linear associada a cada uma das matrizes apresentadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares, e conceitos como núcleos (kernels) e imagens (imagens). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a nulidade de uma transformação linear é a dimensão do núcleo dessa transformação. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando transformados pela matriz, dão o vetor zero. Já a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação.
Passo 3
Segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, para uma matriz dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = n de tamanho , temos que:
Onde:
é a nulidade.
é a dimensão da imagem, também conhecida como posto da matriz.
Então, para encontrar a nulidade, precisamos calcular o posto da matriz e subtrair esse valor do número de colunas da matriz.
Passo 4
Vamos analisar cada matriz individualmente.
Primeira matriz:
A = 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas (, ).
Passo 5
Para encontrar o posto de 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8 1 & 2 & 4 0 & 0 & 0 , vamos reduzir a matriz para a forma escalonada:
Aqui, vimos que só há uma linha não nula, então o posto de é 1.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
nulidade = n - posto = 3 - 1 = 2
Passo 7
Segunda matriz:
B = 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8
Novamente, , .
Passo 8
Reduzindo para forma escalonada:
1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 1 & 2 & 4 0 & 1 & 0
Aqui, temos duas linhas não nulas, então o posto de é 2.