Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ] [cc 1 & 0 0 & -1 ]
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para, usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determinarmos a nulidade da transformação linear associada a cada uma das matrizes apresentadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, transformações lineares, e conceitos como núcleos (kernels) e imagens (imagens). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a nulidade de uma transformação linear é a dimensão do núcleo dessa transformação. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando transformados pela matriz, dão o vetor zero. Já a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação.

Passo 3

Segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, para uma matriz dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = n de tamanho , temos que:
Onde:
  • é a nulidade.
  • é a dimensão da imagem, também conhecida como posto da matriz.
Então, para encontrar a nulidade, precisamos calcular o posto da matriz e subtrair esse valor do número de colunas da matriz.

Passo 4

Vamos analisar cada matriz individualmente.
Primeira matriz:
A = 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas ( , ).

Passo 5

Para encontrar o posto de 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8 1 & 2 & 4 0 & 0 & 0 , vamos reduzir a matriz para a forma escalonada:
Aqui, vimos que só há uma linha não nula, então o posto de é 1.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
nulidade = n - posto = 3 - 1 = 2

Passo 7

Segunda matriz:
B = 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8
Novamente, , .

Passo 8

Reduzindo para forma escalonada:
1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 1 & 2 & 4 0 & 1 & 0
Aqui, temos duas linhas não nulas, então o posto de é 2.

Passo 9

Aplicando o Teorema:
nulidade = 3 - 2 = 1

Passo 10

Terceira matriz:
C = 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 D = 1 & 0 0 & -1
Vamos calcular a nulidade para ambas as matrizes e .

Passo 11

Primeiro, para 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 1 & 3 & 5 0 & -2 & 0 0 & 0 & -1 :
A matriz tem 3 linhas e 3 colunas ( , ).
Reduzindo para forma escalonada:
Todas as três linhas são não nulas, então o posto de é 3.

Passo 12

Aplicando o Teorema:
nulidade = 3 - 3 = 0

Passo 13

Agora, para 1 & 0 0 & -1 :
A matriz tem 2 linhas e 2 colunas ( , ).
Reduzindo para forma escalonada:
Todas as linhas são não nulas, então o posto de é 2.

Passo 14

Aplicando o Teorema:
nulidade = 2 - 2 = 0

Resposta

A nulidade das transformações lineares associadas às matrizes é:
  • Primeira matriz:
  • Segunda matriz:
  • Terceira matriz :
  • Quarta matriz :

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