(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar uma base para a imagem da transformação linear associada a cada uma das matrizes fornecidas e determinar o posto dessa transformação. Isso tudo faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre Transformações Lineares e Espaços Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear, como encontrar uma base para ela e como determinar o posto da matriz, que na verdade é o número de colunas linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira matriz:
[ccc 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8 ]
A imagem de uma matriz é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas. Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos observar as colunas dessa matriz:
Primeira coluna: 1 2
Segunda coluna: 2 4
Terceira coluna: 4 8
Percebemos que a segunda coluna é o dobro da primeira, e a terceira coluna é o dobro da segunda. Isso significa que todas as colunas são múltiplos umas das outras e, portanto, não são todas independentes.
Passo 4
Como as colunas não são todas independentes, precisamos escolher apenas aquelas que são. Vamos selecionar a primeira coluna, já que ela não é múltiplo de nenhuma outra.
Então, a base para a imagem dessa matriz é composta apenas pela primeira coluna:
1 2
Passo 5
Agora, para determinar o posto da matriz, contamos o número de vetores na base da imagem. Nesse caso, temos apenas um vetor na base.
Portanto, o posto dessa transformação é 1.
Passo 6
Agora vamos analisar a segunda matriz:
[ccc 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
Assim como antes, queremos encontrar uma base para a imagem da transformação linear associada e determinar seu posto.
Passo 7
Vamos observar as colunas dessa matriz:
Primeira coluna: 1 2
Segunda coluna: 2 5
Terceira coluna: 4 8
Diferente da primeira matriz, aqui as colunas não são múltiplos umas das outras.
Passo 8
Para verificar a independência linear, vamos ver se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.
Observando, vemos que a terceira coluna não é múltiplo nem combinação simples das duas primeiras.
Passo 9
Portanto, todas as colunas são linearmente independentes. Assim, a base para a imagem é formada por todas as três colunas:
1 2, 2 5, 4 8
Passo 10
O posto da matriz é o número de vetores na base da imagem. Aqui, temos três vetores na base.
Portanto, o posto dessa transformação é 3.
Passo 11
Vamos agora para a terceira matriz:
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ]
Novamente, nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz e determinar seu posto.
Passo 12
Observando as colunas dessa matriz:
Primeira coluna: 0 1 0
Segunda coluna: -2 3 4
Terceira coluna: 0 5 -1
Precisamos verificar quais dessas colunas são linearmente independentes.
Passo 13
Para isso, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
a 0 1 0 + b -2 3 4 + c 0 5 -1 = 0 0 0
Isso resulta no sistema de equações:
-2b = 0
a + 3b + 5c = 0
4b - c = 0
Da primeira equação, b = 0. Substituindo na terceira equação, temos -c = 0, ou seja, c = 0. Finalmente, da segunda equação, a = 0.
Isso mostra que a única solução é trivial (a = b = c = 0), portanto, as colunas são linearmente independentes.
Passo 14
Como todas as colunas são independentes, a base para a imagem é composta por todas as três colunas:
0 1 0, -2 3 4, 0 5 -1
Passo 15
O posto da matriz é o número de vetores na base da imagem, que aqui é 3.
Portanto, o posto dessa transformação é 3.
Passo 16
Por fim, vamos analisar a quarta matriz:
[cc 1 & 0 0 & -1 ]
Nosso objetivo continua sendo encontrar uma base para a imagem da transformação linear associada a essa matriz e determinar seu posto.
Passo 17
Observando as colunas dessa matriz:
Primeira coluna: 1 0
Segunda coluna: 0 -1
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes.
Passo 18
Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
a 1 0 + b 0 -1 = 0 0
Isso resulta no sistema:
a = 0
-b = 0
Da primeira equação, a = 0, e da segunda, b = 0. Portanto, a única solução é trivial, indicando que as colunas são linearmente independentes.
Passo 19
Como ambas as colunas são independentes, a base para a imagem é formada por ambas as colunas:
1 0, 0 -1
Passo 20
O posto da matriz é o número de vetores na base da imagem, que aqui é 2.
Portanto, o posto dessa transformação é 2.
Resposta
Para a matriz
[cc 1 & 0 0 & -1 ],
uma base para a imagem é 1 0, 0 -1 e o posto dessa transformação é 2.