Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A=(8,-8) e B=(12,-2).

Passo 1

Então, temos que encontrar o ponto que está na bissetriz dos quadrantes pares e que está a mesma distância dos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como bissetriz de ângulos e distância entre pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é a bissetriz dos quadrantes pares. No plano cartesiano, os quadrantes pares são o segundo e o quarto. A bissetriz que divide igualmente esses dois quadrantes é a reta . Isso porque essa reta divide o ângulo total de 180 graus formado pelos quadrantes 2 e 4 em dois ângulos de 90 graus cada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um ponto que está nessa reta e que está a mesma distância de e . Vamos chamar as coordenadas de de , já que está na reta .

Passo 4

A distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é dada pela fórmula:
Como está a mesma distância de e , podemos igualar essas duas distâncias.

Passo 5

Vamos calcular a distância de d(P, A) = raiz(8 - x)^2 + (-8 - (-x))^2 = raiz(8 - x)^2 + (-8 + x)^2 a d(P, B) = raiz(12 - x)^2 + (-2 - (-x))^2 = raiz(12 - x)^2 + (-2 + x)^2 :
raiz(8 - x)^2 + (-8 + x)^2 = raiz(12 - x)^2 + (-2 + x)^2
E a distância de a :
Como as distâncias são iguais:

Passo 6

Vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:
(8 - x)^2 + (-8 + x)^2 = (12 - x)^2 + (-2 + x)^2
Explicando, isso simplifica a equação para facilitar a resolução.

Passo 7

Expandindo os termos:
(64 - 16x + x^2) + (64 - 16x + x^2) = (144 - 24x + x^2) + (4 - 4x + x^2)
Simplificando cada lado:
128 - 32x + 2x^2 = 148 - 28x + 2x^2

Passo 8

Subtraindo 128 - 32x = 148 - 28x de ambos os lados:
Agora, isolamos .

Passo 9

Vamos mover os termos com -32x + 28x = 148 - 128 para um lado e os constantes para o outro:
-4x = 20
x = -5
Dividindo ambos os lados por -4:

Passo 10

Como y = -(-5) = 5 , substituímos por -5:

Resposta

O ponto é .

Exercícios relacionados

Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(h) T: V W dada por T(v)=0 (conhecida como transformação nula);
Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ] [cc 1 & 0 0 & -1 ]
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante de B=(1,3) e C=(-3,5).
Ache P da reta over<=ftrightarrowA B tal que d(A, P)=5, para A=(0,-25) e B=(-2,-11).