Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(h) T: V W dada por T(v)=0 (conhecida como transformação nula);

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação T: V W que sempre manda qualquer vetor v de V para o vetor zero em W, ou seja, T(v) = 0. A matéria aqui é sobre transformações lineares, e vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear para verificar se essa função T é realmente linear.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? É uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u, v em V.
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot v) = c cdot T(v) para qualquer escalar c e vetor v em V.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade usando nossa transformação T(v) = 0:
  • Se pegarmos dois vetores u e v em V, então T(u + v) = 0.
  • Por outro lado, T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0.
  • Então, T(u + v) = T(u) + T(v), que satisfaz a primeira propriedade.

Passo 4

Agora, vamos ver a segunda propriedade com a mesma transformação:
  • Para um escalar c e um vetor v, temos T(c cdot v) = 0.
  • E c cdot T(v) = c cdot 0 = 0.
  • Assim, T(c cdot v) = c cdot T(v), cumprindo a segunda propriedade.

Resposta

Como a transformação T(v) = 0 satisfaz ambas as propriedades de uma transformação linear, ela é linear.

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