Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(h)
dada por
(conhecida como transformação nula);
(h)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação
que sempre manda qualquer vetor
de
para o vetor zero em
, ou seja,
. A matéria aqui é sobre transformações lineares, e vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear para verificar se essa função
é realmente linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? É uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
para quaisquer vetores em . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade usando nossa transformação
:
- Se pegarmos dois vetores
e em , então . - Por outro lado,
. - Então,
, que satisfaz a primeira propriedade.
Passo 4
Agora, vamos ver a segunda propriedade com a mesma transformação:
- Para um escalar
e um vetor , temos . - E
. - Assim,
, cumprindo a segunda propriedade.
Resposta
Como a transformação
satisfaz ambas as propriedades de uma transformação linear, ela é linear.