Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(h) dada por (conhecida como transformação nula);
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação que sempre manda qualquer vetor de para o vetor zero em , ou seja, . A matéria aqui é sobre transformações lineares, e vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear para verificar se essa função é realmente linear.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? É uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades principais:
Adição de vetores: para quaisquer vetores em .
Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade usando nossa transformação :
Se pegarmos dois vetores e em , então .
Por outro lado, .
Então, , que satisfaz a primeira propriedade.
Passo 4
Agora, vamos ver a segunda propriedade com a mesma transformação:
Para um escalar e um vetor , temos .
E .
Assim, , cumprindo a segunda propriedade.
Resposta
Como a transformação satisfaz ambas as propriedades de uma transformação linear, ela é linear.