Sejam T: R^2 R^2 transformações lineares cujas matrizes canônicas são dadas por:
© [T]=[cc1 & 0 0 & -1]

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear cc1 & 0 0 & -1 cuja matriz canônica é . A matéria aqui é transformações lineares e matrizes, e vamos precisar entender como essa matriz transforma pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz canônica. Ela representa como a transformação age nas coordenadas padrão do espaço. No caso, nossa matriz é diagonal, o que facilita a análise. Cada elemento diagonal (1 e -1) mostra como cada coordenada e são transformadas separadamente.

Passo 3

Vamos ver o que acontece com um ponto qualquer T(x, y) = [cc1 & 0 0 & -1] [cx y] = [c1 cdot x + 0 cdot y 0 cdot x + (-1) cdot y] = [cx -y] quando aplicamos a transformação . A multiplicação da matriz pela coordenada do ponto nos dá:
Isso significa que a transformação mantém a coordenada igual e multiplica a coordenada por -1.

Passo 4

Agora, vamos interpretar geometricamente o que isso significa. Se você imaginar o plano cartesiano, multiplicar por -1 vai “espelhar” o ponto em relação ao eixo . Ou seja, pontos acima do eixo vão para abaixo e vice-versa, enquanto a coordenada permanece inalterada.

Resposta

A transformação reflete qualquer ponto no plano em relação ao eixo , mantendo a coordenada igual e invertendo a coordenada .

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Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ] [cc 1 & 0 0 & -1 ]
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(j) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x,-y) (conhecida como reflexão em torno do eixo x );
Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ] [cc 1 & 0 0 & -1 ]
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(h) T: V W dada por T(v)=0 (conhecida como transformação nula);