A Toyco monta três tipos de brinquedos: trens, caminhões e carros usando três operações. Os tempos de montagem diários disponíveis para as três operações. Os tempos de montagem diários disponíveis para as três operações são 430,460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por trem, caminhão e carro de brinquedo são e , respectivamente. Os tempos de montagem por trem para as três operações são um, três e um minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são e minutos. Assim temos o modelo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A Toyco está montando três tipos de brinquedos: trens, caminhões e carros. A gente quer descobrir quantos de cada brinquedo eles devem montar por dia para maximizar a receita total. Para isso, vamos usar Programação Linear, que é uma técnica matemática para encontrar o melhor resultado possível, como maximizar lucros ou minimizar custos, dentro de certas restrições.
Aqui, precisamos considerar os tempos de montagem disponíveis para três operações diferentes e as receitas que cada tipo de brinquedo traz. Nosso objetivo é maximizar a receita total, respeitando os limites de tempo de montagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as variáveis que vamos usar:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3 : número de trens montados por dia
: número de caminhões montados por dia
: número de carros montados por dia
Nosso objetivo é maximizar a receita total, que é dada pela função objetivo:
Aqui, cada termo representa a receita de cada tipo de brinquedo multiplicada pela quantidade montada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as restrições de tempo de montagem. Temos três operações com tempos diários disponíveis:
Primeira operação: 430 minutos disponíveis
Segunda operação: 460 minutos disponíveis
Terceira operação: 420 minutos disponíveis
Os tempos de montagem para cada brinquedo em cada operação são:
Trens: 1, 3 e 1 minutos
Caminhões: 2, 0 e 4 minutos
Carros: 1, 2 e 0 minutos
Assim, podemos montar as seguintes desigualdades para representar as restrições de tempo:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que maximizam .
Uma maneira comum de resolver problemas de Programação Linear com três variáveis é utilizando o método Simplex ou softwares específicos. Mas aqui, vamos simplificar um pouco e tentar encontrar uma solução viável.
Passo 5
Vamos tentar isolar uma das variáveis. Vamos começar pela terceira restrição:
x1 + 4x2 <= 420
Podemos expressar x1 <= 420 - 4x2 em termos de :
Passo 6
Agora, substituímos (420 - 4x2) + 2x2 + x3 <= 430 na primeira restrição:
420 - 2x2 + x3 <= 430
Simplificando:
-2x2 + x3 <= 10
x3 <= 2x2 + 10
Passo 7
Vamos agora para a segunda restrição substituindo 3(420 - 4x2) + 2x3 <= 460 :
1260 - 12x2 + 2x3 <= 460
Simplificando:
-12x2 + 2x3 <= -800
2x3 <= 12x2 - 800
x3 <= 6x2 - 400
Passo 8
Agora, temos duas expressões para x3 <= 2x2 + 10 :
x3 <= 6x2 - 400
6x2 - 400 >= 2x2 + 10
Para que ambas as condições sejam verdadeiras, 4x2 >= 410 deve ser menor ou igual ao menor valor entre as duas expressões. No entanto, observamos que x2 >= 102,5 precisa ser maior ou igual a :
Como não podemos ter meio caminhão, vamos arredondar para .
Agora, substituímos x1 <= 420 - 4(103) = 420 - 412 = 8 na expressão de :
Então, .
Resposta
A solução ótima é montar 8 trens, 103 caminhões e 216 carros por dia, o que maximiza a receita total em $ 3(8) + $ 2(103) + $ 5(216) = $ 24 + $ 206 + $ 1080 = $ 1300.