Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(j) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x,-y) (conhecida como reflexão em torno do eixo x );

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação definida por é linear. Isso faz parte do conteúdo de transformações lineares na álgebra linear. Para resolver, a gente vai precisar checar duas propriedades essenciais das transformações lineares: adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a transformação preserva a adição de vetores. Ou seja, para quaisquer dois vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e , a gente precisa que:
Vamos calcular cada lado dessa equação.

Passo 3

Calculando u + v = (x1 + x2, y1 + y2) :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, - (y1 + y2)) = (x1 + x2, -y1 - y2)
T(u) = (x1, -y1)
Agora, calculando T(v) = (x2, -y2) :
T(u) + T(v) = (x1 + x2, -y1 - y2)
Como vemos, . Então, a propriedade de adição está ok!

Passo 4

Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Para qualquer vetor T(c cdot u) = c cdot T(u) e qualquer escalar , precisamos que:
Vamos calcular os dois lados.

Passo 5

Calculando c cdot u = (c cdot x, c cdot y) :
T(c cdot u) = T(c cdot x, c cdot y) = (c cdot x, -c cdot y)
T(u) = (x, -y)
Agora, calculando c cdot T(u) = (c cdot x, c cdot (-y)) = (c cdot x, -c cdot y) :
De novo, vemos que . Então, a propriedade de multiplicação por escalar também está certinha!

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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