Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(j) dada por (conhecida como reflexão em torno do eixo );
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação definida por é linear. Isso faz parte do conteúdo de transformações lineares na álgebra linear. Para resolver, a gente vai precisar checar duas propriedades essenciais das transformações lineares: adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a transformação preserva a adição de vetores. Ou seja, para quaisquer dois vetores e , a gente precisa que:
Vamos calcular cada lado dessa equação.
Passo 3
Calculando :
Agora, calculando :
Como vemos, . Então, a propriedade de adição está ok!
Passo 4
Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Para qualquer vetor e qualquer escalar , precisamos que:
Vamos calcular os dois lados.
Passo 5
Calculando :
Agora, calculando :
De novo, vemos que . Então, a propriedade de multiplicação por escalar também está certinha!