Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(j)
dada por
(conhecida como reflexão em torno do eixo
);
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação
definida por
é linear. Isso faz parte do conteúdo de transformações lineares na álgebra linear. Para resolver, a gente vai precisar checar duas propriedades essenciais das transformações lineares: adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a transformação preserva a adição de vetores. Ou seja, para quaisquer dois vetores
e
, a gente precisa que:
Vamos calcular cada lado dessa equação.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como vemos,
. Então, a propriedade de adição está ok!
Passo 4
Agora, vamos checar a multiplicação por escalar. Para qualquer vetor
e qualquer escalar
, precisamos que:
Vamos calcular os dois lados.
Passo 5
Calculando
:
Agora, calculando
:
De novo, vemos que
. Então, a propriedade de multiplicação por escalar também está certinha!
Resposta
Sim, a transformação
é linear.