Beleza, vamos resolver essa questão de matrizes e autovalores! A gente tem uma matriz específica do item (g) e precisamos descobrir várias coisas sobre ela: os autovalores, os autovetores, os autovalores das inversas e das quartas potências, além do determinante e do traço usando os autovalores. Para isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, determinante e traço de uma matriz. Vamos botar a mão na massa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores que satisfazem a equação , onde é a matriz, são os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
A matriz dada é:
Vamos construir :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, os autovalores são as soluções dessa equação:
Passo 3
Agora que temos os autovalores (com multiplicidade 2) e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Então, podemos escolher livremente, digamos , e .
Tomando , temos . Assim, o autovetor é:
Portanto, os autoespaços correspondentes a são gerados pelos vetores e .
Para :
Resolvemos :
Das equações:
Portanto, e , ou seja, .
Tomando , temos , . Então, o autovetor é:
Assim, o autoespaço para é gerado pelo vetor .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovalores das inversas das matrizes. Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Para a nossa matriz , os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Então, os autovalores de serão:
Passo 5
Vamos encontrar agora os autovalores das quartas potências da matriz . Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Para , temos:
Então, os autovalores de são (com multiplicidade 2) e .
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores.
Para a matriz , os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Então:
Passo 7
Por fim, vamos encontrar o traço da matriz usando os autovalores. O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores, contando multiplicidades.