Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matrizes e autovalores! A gente tem uma matriz específica do item (g) e precisamos descobrir várias coisas sobre ela: os autovalores, os autovetores, os autovalores das inversas e das quartas potências, além do determinante e do traço usando os autovalores. Para isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, determinante e traço de uma matriz. Vamos botar a mão na massa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores que satisfazem a equação , onde é a matriz, são os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
A matriz dada é:
Vamos construir :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, os autovalores são as soluções dessa equação:

Passo 3

Agora que temos os autovalores (com multiplicidade 2) e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Então, podemos escolher livremente, digamos , e .
Tomando , temos . Assim, o autovetor é:
Portanto, os autoespaços correspondentes a são gerados pelos vetores e .
Para :
Resolvemos :
Das equações:
Portanto, e , ou seja, .
Tomando , temos , . Então, o autovetor é:
Assim, o autoespaço para é gerado pelo vetor .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores das inversas das matrizes. Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Para a nossa matriz , os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Então, os autovalores de serão:

Passo 5

Vamos encontrar agora os autovalores das quartas potências da matriz . Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Para , temos:
Então, os autovalores de são (com multiplicidade 2) e .

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores.
Para a matriz , os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Então:

Passo 7

Por fim, vamos encontrar o traço da matriz usando os autovalores. O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores, contando multiplicidades.
Para , temos:

Resposta

Para a matriz :
I. Autovalores e autoespaços:
  • com autoespaço gerado por e .
  • com autoespaço gerado por .
II. Autovetores:
  • Para : e .
  • Para : .
III. Autovalores da inversa:
  • (multiplicidade 2) e .
IV. Autovalores das quartas potências:
  • (multiplicidade 2) e .
V. Determinante:
VI. Traço:

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