Beleza, vamos resolver essa questão de matrizes e autovalores! A gente tem uma matriz específica do item (g) e precisamos descobrir várias coisas sobre ela: os autovalores, os autovetores, os autovalores das inversas e das quartas potências, além do determinante e do traço usando os autovalores. Para isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, determinante e traço de uma matriz. Vamos botar a mão na massa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores que satisfazem a equação A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1 , onde A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 0 & 1 - lambda é a matriz, det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)( (2 - lambda)(1 - lambda) - 0 ) são os autovalores e (1 - lambda)(2 - lambda)(1 - lambda) = (1 - lambda)^2 (2 - lambda) é a matriz identidade do mesmo tamanho que (1 - lambda)^2 (2 - lambda) = 0 Rightarrow lambda = 1 (de mu.
A matriz dada é:
Vamos construir :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, os autovalores são as soluções dessa equação:
Passo 3
Agora que temos os autovalores 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 (com multiplicidade 2) e v2 + v3 = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para v = t s -s = t 1 0 0 + s 0 1 -1 :
Resolvemos 1 0 0: