(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz dada usando operações elementares em linhas ou colunas. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e operações com matrizes. Para resolver, vamos usar propriedades dos determinantes relacionadas às operações de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número, e que podemos calcular esse número de várias maneiras. Uma forma prática é transformar a matriz em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações de linha, e então multiplicar os elementos da diagonal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz original:
Nosso objetivo é deixar essa matriz triangular superior. Para isso, vamos eliminar os elementos abaixo da primeira linha na primeira coluna.

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar o elemento 2 na posição (2,1). Podemos fazer isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Aplicando essa operação:

[


]

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento -2 na posição (3,1). Para isso, vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Aplicando essa operação:

[


]

Passo 6

Agora que a matriz está triangular superior, calcular o determinante é bem mais fácil! Basta multiplicar os elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante da matriz é 24.

Exercícios relacionados

Sendo e , calcule as matrizes X e Y no sistema
Determine, se possível:
a) e y de modo que as matrizes e comutem.
b) Todas as matrizes que comutam com
(Determinante de Vandermonde)
(Deduzir a expressão geral para o determinante de Vandermonde ).
25.6 Calcular o determinante da matriz .
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(g)