(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
2 3 3[rrr1 & 0 & 2 2 & 4 & -1 -2 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz dada usando operações elementares em linhas ou colunas. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e operações com matrizes. Para resolver, vamos usar propriedades dos determinantes relacionadas às operações de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número, e que podemos calcular esse número de várias maneiras. Uma forma prática é transformar a matriz em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações de linha, e então multiplicar os elementos da diagonal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz original:
1 & 0 & 2 2 & 4 & -1 -2 & 0 & 2
Nosso objetivo é deixar essa matriz triangular superior. Para isso, vamos eliminar os elementos abaixo da primeira linha na primeira coluna.

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar o elemento 2 na posição (2,1). Podemos fazer isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
L2 = L2 - 2 cdot L1
Aplicando essa operação:

[
1 & 0 & 2 2 - 2 cdot 1 & 4 - 2 cdot 0 & -1 - 2 cdot 2 -2 & 0 & 2 = 1 & 0 & 2 0 & 4 & -5 -2 & 0 & 2


]

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento -2 na posição (3,1). Para isso, vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
L3 = L3 + 2 cdot L1
Aplicando essa operação:

[
1 & 0 & 2 0 & 4 & -5 -2 + 2 cdot 1 & 0 + 2 cdot 0 & 2 + 2 cdot 2 = 1 & 0 & 2 0 & 4 & -5 0 & 0 & 6


]

Passo 6

Agora que a matriz está triangular superior, calcular o determinante é bem mais fácil! Basta multiplicar os elementos da diagonal principal:
det = 1 times 4 times 6 = 24

Resposta

O determinante da matriz é 24.

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