(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz dada usando operações elementares em linhas ou colunas. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e operações com matrizes. Para resolver, vamos usar propriedades dos determinantes relacionadas às operações de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número, e que podemos calcular esse número de várias maneiras. Uma forma prática é transformar a matriz em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações de linha, e então multiplicar os elementos da diagonal.
Passo 3
Vamos começar com a matriz original:
Nosso objetivo é deixar essa matriz triangular superior. Para isso, vamos eliminar os elementos abaixo da primeira linha na primeira coluna.
Passo 4
Primeiro, vamos eliminar o elemento 2 na posição (2,1). Podemos fazer isso subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Aplicando essa operação:
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Passo 5
Agora, vamos eliminar o elemento -2 na posição (3,1). Para isso, vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Aplicando essa operação:
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Passo 6
Agora que a matriz está triangular superior, calcular o determinante é bem mais fácil! Basta multiplicar os elementos da diagonal principal: