(Determinante de Vandermonde)
(Deduzir a expressão geral para o determinante de Vandermonde ).
25.6 Calcular o determinante da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz onde . Isso está relacionado ao determinante de Vandermonde, que é um tipo especial de determinante usado em matrizes com elementos baseados em potências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um determinante, como calcular o determinante de uma matriz de Vandermonde e aplicar isso à nossa matriz específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como indicar se a matriz é invertível (determinante diferente de zero) e escalar o volume no espaço.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz de Vandermonde. Uma matriz de Vandermonde é uma matriz onde cada elemento é uma potência crescente de um conjunto de números . A forma geral de uma matriz de Vandermonde é:
O determinante de uma matriz de Vandermonde é dado por:
Isso significa que o determinante é o produto de todas as diferenças possíveis entre os 's.
Passo 4
Agora, vamos voltar para a nossa matriz . Observe que os elementos de são para . Comparando com a matriz de Vandermonde, vemos que a nossa matriz tem uma estrutura similar, mas com uma diferença na exponente. Na matriz de Vandermonde tradicional, o elemento é , começando com a potência 0. Já na nossa matriz , o elemento é , começando com a potência 1.
Passo 5
Para alinhar nossa matriz com a forma da matriz de Vandermonde, podemos fazer uma pequena alteração. Vamos considerar que e ajustar os índices para que o expoente comece em 0. Para isso, podemos reescrever a matriz como:
Podemos fatorar um de cada coluna para ajustar os expoentes:
Aqui, é uma matriz diagonal com os números de 1 a na diagonal principal, e é a matriz de Vandermonde padrão.
Passo 6
Sabemos que o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal principal. Além disso, o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes das matrizes individuais. Portanto:
Onde , já que .
Passo 7
Calculando o determinante da matriz diagonal:
E como , podemos simplificar como para .
Passo 8
Portanto, juntando tudo:
Essa expressão nos dá o determinante da matriz em termos do fatorial de e o produto das diferenças entre os índices e onde .