(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o determinante dessa matriz usando operações elementares nas linhas. O problema nos dá a seguinte matriz:
Para calcular o determinante, vamos usar operações que facilitam o cálculo sem mudar o valor do determinante ou sabendo como elas o afetam. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número e adição de múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a matriz para uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, já que, para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Vamos começar com a matriz original:
Passo 3
Nossa meta é zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha. A operação fica assim:
Aplicando essa operação:
Agora, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo de -3 na segunda coluna. Para isso, vamos substituir a terceira linha pela terceira linha mais (8/3) vezes a segunda linha. A operação é:
Calculando:
Agora, a matriz está na forma triangular:
Passo 5
Agora que a matriz está triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal: