(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
23.5[lll1 & 4 & 4 2 & 5 & 6 0 & 8 & 9]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante dessa matriz usando operações elementares nas linhas. O problema nos dá a seguinte matriz:
1 & 4 & 4 2 & 5 & 6 0 & 8 & 9
Para calcular o determinante, vamos usar operações que facilitam o cálculo sem mudar o valor do determinante ou sabendo como elas o afetam. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a matriz para uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, já que, para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Vamos começar com a matriz original:
1 & 4 & 4 2 & 5 & 6 0 & 8 & 9

Passo 3

Nossa meta é zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha. A operação fica assim:
L2 = L2 - 2 times L1
Aplicando essa operação:
L2 = 2 & 5 & 6 - 2 times 1 & 4 & 4 = 0 & -3 & -2
Agora, a matriz fica:
1 & 4 & 4 0 & -3 & -2 0 & 8 & 9

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo de -3 na segunda coluna. Para isso, vamos substituir a terceira linha pela terceira linha mais (8/3) vezes a segunda linha. A operação é:
L3 = L3 + (8-3) times L2
Calculando:
L3 = 0 & 8 & 9 + (8-3) times 0 & -3 & -2 = 0 & 0 & 153 = 0 & 0 & 5
Agora, a matriz está na forma triangular:
1 & 4 & 4 0 & -3 & -2 0 & 0 & 5

Passo 5

Agora que a matriz está triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
determinante = 1 times (-3) times 5 = -15

Resposta

O determinante da matriz é -15.

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