(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante dessa matriz usando operações elementares nas linhas. O problema nos dá a seguinte matriz:
Para calcular o determinante, vamos usar operações que facilitam o cálculo sem mudar o valor do determinante ou sabendo como elas o afetam. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a matriz para uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, já que, para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Vamos começar com a matriz original:

Passo 3

Nossa meta é zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha. A operação fica assim:
Aplicando essa operação:
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo de -3 na segunda coluna. Para isso, vamos substituir a terceira linha pela terceira linha mais (8/3) vezes a segunda linha. A operação é:
Calculando:
Agora, a matriz está na forma triangular:

Passo 5

Agora que a matriz está triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante da matriz é -15.

Exercícios relacionados

Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(g)
(Determinante de Vandermonde)
(Deduzir a expressão geral para o determinante de Vandermonde ).
25.6 Calcular o determinante da matriz .
Qual a equação reduzida da reta à qual pertencem os pontos e ?
Dada a matriz , calcule e