Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz . A gente vai descobrir os autovalores, os autoespaços, autovetores, além de informações sobre o determinante e o traço usando esses autovalores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como equações características e propriedades de matrizes.

Passo 2

I. Determinar os autovalores e respectivos autoespaços

Primeiro, para encontrar os autovalores ( ), precisamos resolver a equação característica da matriz. A equação característica é dada por:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Agora, para cada autovalor, encontramos o autoespaço resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a é:
Para :
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a é:

Passo 3

II. Exibir um autovetor para cada autovalor

Escolhemos um vetor não nulo de cada autoespaço.
Para :
Um autovetor pode ser . Para simplificar, multiplicamos por 3:
Para :
Um autovetor é .

Passo 4

III. Encontrar os autovalores das inversas

Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:

Passo 5

IV. Encontrar os autovalores das quartas potências da matriz

As potências da matriz afetam seus autovalores elevando-os à mesma potência. Assim, os autovalores de são:

Passo 6

V. Calcular o determinante usando os autovalores

O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:

Passo 7

VI. Calcular o traço usando os autovalores

O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Assim:

Resposta

  1. Autovalores: , .
  2. Autovetores:
    • Para :
    • Para :
  3. Autovalores da inversa: , .
  4. Autovalores de : , .
  5. Determinante: .
  6. Traço: .

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