Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(b) (ll6 & -4 3 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz 6 & -4 3 & -1. A gente vai descobrir os autovalores, os autoespaços, autovetores, além de informações sobre o determinante e o traço usando esses autovalores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como equações características e propriedades de matrizes.

Passo 2

I. Determinar os autovalores e respectivos autoespaços

Primeiro, para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ), precisamos resolver a equação característica da matriz. A equação característica é dada por:
A - lambda I = 6 - lambda & -4 3 & -1 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (6 - lambda)(-1 - lambda) - (-4)(3) = (6 - lambda)(-1 - lambda) + 12 é a matriz dada e = -6 -6lambda + lambda + lambda^2 + 12 = lambda^2 -5lambda +6 é a matriz identidade. Vamos calcular:
lambda^2 -5lambda +6 = 0
Calculando o determinante:
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Expandindo:
lambda1 = 3 e lambda2 = 2
Então, a equação característica é:
A - 3I = 3 & -4 3 & -4
Resolvendo essa equação quadrática:
3x -4y = 0 Rightarrow x = 43y
Portanto, os autovalores são:
y 43 1 mid y in R
Agora, para cada autovalor, encontramos o autoespaço resolvendo A - 2I = 4 & -4 3 & -3 .
Para 4x -4y = 0 Rightarrow x = y :
y 1 1 mid y in R
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a é:
Para :
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a é:

Passo 3

II. Exibir um autovetor para cada autovalor

Escolhemos um vetor não nulo de cada autoespaço.
Para 43 1:
Um autovetor pode ser v1 = 4 3 . Para simplificar, multiplicamos por 3:
1 1
Para :
Um autovetor é .

Passo 4

III. Encontrar os autovalores das inversas

Sabemos que se lambda1^-1 = 13 e lambda2^-1 = 12 é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:

Passo 5

IV. Encontrar os autovalores das quartas potências da matriz

As potências da matriz afetam seus autovalores elevando-os à mesma potência. Assim, os autovalores de lambda1^4 = 3^4 = 81 e lambda2^4 = 2^4 = 16 são:

Passo 6

V. Calcular o determinante usando os autovalores

O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:
det(A) = lambda1 times lambda2 = 3 times 2 = 6

Passo 7

VI. Calcular o traço usando os autovalores

O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Assim:
tr(A) = lambda1 + lambda2 = 3 + 2 = 5

Resposta

  1. Autovalores: 4 3, 1 1.
  2. Autovetores:
    • Para :
    • Para :
  3. Autovalores da inversa: , .
  4. Autovalores de : , .
  5. Determinante: .
  6. Traço: .

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