Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(b)
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz
. A gente vai descobrir os autovalores, os autoespaços, autovetores, além de informações sobre o determinante e o traço usando esses autovalores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como equações características e propriedades de matrizes.
Passo 2
I. Determinar os autovalores e respectivos autoespaços
Primeiro, para encontrar os autovalores (
), precisamos resolver a equação característica da matriz. A equação característica é dada por:
Onde
é a matriz dada e
é a matriz identidade. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Agora, para cada autovalor, encontramos o autoespaço resolvendo
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a
é:
Para
:
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a
é:
Passo 3
II. Exibir um autovetor para cada autovalor
Escolhemos um vetor não nulo de cada autoespaço.
Para
:
Um autovetor pode ser
. Para simplificar, multiplicamos por 3:
Para
:
Um autovetor é
.
Passo 4
III. Encontrar os autovalores das inversas
Sabemos que se
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
.
Portanto, os autovalores de
são:
Passo 5
IV. Encontrar os autovalores das quartas potências da matriz
As potências da matriz afetam seus autovalores elevando-os à mesma potência. Assim, os autovalores de
são:
Passo 6
V. Calcular o determinante usando os autovalores
O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:
Passo 7
VI. Calcular o traço usando os autovalores
O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Assim:
Resposta
-
Autovalores:
, . -
Autovetores:
- Para
: - Para
:
- Para
-
Autovalores da inversa:
, . -
Autovalores de
: , . -
Determinante:
. -
Traço:
.