Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz . A gente vai descobrir os autovalores, os autoespaços, autovetores, além de informações sobre o determinante e o traço usando esses autovalores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como equações características e propriedades de matrizes.
Passo 2
I. Determinar os autovalores e respectivos autoespaços
Primeiro, para encontrar os autovalores (), precisamos resolver a equação característica da matriz. A equação característica é dada por:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade. Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Agora, para cada autovalor, encontramos o autoespaço resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a é:
Para :
Resolvendo o sistema:
O autoespaço associado a é:
Passo 3
II. Exibir um autovetor para cada autovalor
Escolhemos um vetor não nulo de cada autoespaço.
Para :
Um autovetor pode ser . Para simplificar, multiplicamos por 3:
Para :
Um autovetor é .
Passo 4
III. Encontrar os autovalores das inversas
Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:
Passo 5
IV. Encontrar os autovalores das quartas potências da matriz
As potências da matriz afetam seus autovalores elevando-os à mesma potência. Assim, os autovalores de são:
Passo 6
V. Calcular o determinante usando os autovalores
O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:
Passo 7
VI. Calcular o traço usando os autovalores
O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Assim: