Obtenha a(s) reta(s) à(s) qual(is) pertence(m) o ponto e que faz(em) com a reta ângulo cuja tangente é . R.: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as retas que passam pelo ponto e que formam um ângulo com a reta cuja tangente é . Vamos usar conteúdos de Geometria Analítica, especificamente sobre ângulos entre retas e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar o ângulo entre duas retas. Se tivermos duas retas com coeficientes angulares e , a tangente do ângulo entre elas é dada por:
No nosso caso, (coeficiente angular da reta ) e . Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
18 = | m2 - 31 + 3m2 |
Isso nos dá duas situações, já que o módulo pode ser positivo ou negativo:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 4
Primeira equação:
m2 - 31 + 3m2 = 18
Multiplicando em cruz:
8(m2 - 3) = 1(1 + 3m2)
Distribuindo:
8m2 - 24 = 1 + 3m2
Isolando 8m2 - 3m2 = 1 + 24 :
5m2 = 25
m2 = 5
Passo 5
Segunda equação:
m2 - 31 + 3m2 = -18
Multiplicando em cruz:
8(m2 - 3) = -1(1 + 3m2)
Distribuindo:
8m2 - 24 = -1 - 3m2
Isolando 8m2 + 3m2 = -1 + 24 :
11m2 = 23
m2 = 2311
Passo 6
Agora que encontramos os dois valores de y - y0 = m(x - x0) , que são y - 1 = 5(x - 0) Rightarrow y = 5x + 1 e y - 1 = 2311(x - 0) Rightarrow y = 2311x + 1 , podemos escrever as equações das retas que passam pelo ponto .
A forma geral da equação da reta que passa por um ponto com coeficiente angular é:
Como , temos e . Então:
Para :
Para :
Resposta
As retas que passam pelo ponto s: y = 5x + 1 e t: y = 2311x + 1 e formam um ângulo cuja tangente é com a reta são: