Obtenha a(s) reta(s) à(s) qual(is) pertence(m) o ponto e que faz(em) com a reta ângulo cuja tangente é . R.: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as retas que passam pelo ponto e que formam um ângulo com a reta cuja tangente é . Vamos usar conteúdos de Geometria Analítica, especificamente sobre ângulos entre retas e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar o ângulo entre duas retas. Se tivermos duas retas com coeficientes angulares e , a tangente do ângulo entre elas é dada por:
No nosso caso, (coeficiente angular da reta ) e . Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Isso nos dá duas situações, já que o módulo pode ser positivo ou negativo:
1.
2.
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 4
**Primeira equação:**
Multiplicando em cruz:
Distribuindo:
Isolando :
Passo 5
**Segunda equação:**
Multiplicando em cruz:
Distribuindo:
Isolando :
Passo 6
Agora que encontramos os dois valores de , que são e , podemos escrever as equações das retas que passam pelo ponto .
A forma geral da equação da reta que passa por um ponto com coeficiente angular é:
Como , temos e . Então:
1. Para :
2. Para :
Resposta
As retas que passam pelo ponto e formam um ângulo cuja tangente é com a reta são: