Determine as regiões do plano: (x, y) in R^2 / xy=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as regiões do plano que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de geometria analítica, onde vamos analisar quais pontos no plano cartesianos (com coordenadas e ) fazem o produto igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um produto de duas variáveis ser igual a zero e como isso se traduz graficamente no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que a equação nos diz. Se o produto de e é zero, pelo menos uma das variáveis tem que ser zero. Ou seja:
  • Ou
  • Ou
  • Ou ambos e

Passo 3

Vamos analisar cada caso:
  1. : Isso significa que todos os pontos onde é zero estão no eixo . Graficamente, isso é representado pela linha vertical que passa pela origem (0,0) no plano.
  2. : Aqui, todos os pontos onde é zero estão no eixo . Isso é a linha horizontal que também passa pela origem no plano.
  3. e : Esse é apenas o ponto de interseção dos eixos e , que é a origem (0,0).

Passo 4

Então, juntando tudo, as soluções para são todos os pontos que estão no eixo , no eixo ou na origem. Graficamente, isso forma as duas linhas que se cruzam no centro do plano cartesiano.

Resposta

As regiões do plano que satisfazem são o eixo , o eixo e a origem. Ou seja, são todas as linhas horizontais e verticais que passam pela origem no plano cartesiano.

Exercícios relacionados