(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares nas linhas. A matéria envolvida aqui é o Cálculo de Determinantes e vamos precisar entender como usar operações como trocar, multiplicar ou somar linhas para simplificar a matriz e facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante:

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar operações elementares nas linhas para transformar a matriz em uma forma mais simples, preferencialmente uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). Lembrando que somar ou subtrair linhas não altera o determinante.

Passo 4

Vamos subtrair a primeira linha de cada uma das outras linhas:
  • Linha 2:
Nova Linha 2:
  • Linha 3:
Nova Linha 3:
  • Linha 4:
Nova Linha 4:
A matriz agora fica assim:

Passo 5

Agora que a matriz está em forma triangular superior (com zeros abaixo da diagonal principal), calcular o determinante fica mais fácil. O determinante de uma matriz triangular é apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, multiplicamos os elementos da diagonal:

Resposta

O determinante da matriz dada é -8.

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(b)
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Considere o triângulo de vértices e . Determine a área de ;