(d) (1pt) Encontre onde
são as bases canônicas de , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear com relação às bases canônicas de e . Isso envolve conceitos de transformações lineares e representação matricial. Para isso, vamos precisar saber como age sobre os vetores da base e expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, lembremos que a matriz representa a transformação linear de para com respeito às bases e . Essa matriz terá dimensões , já que mapeamos 2 dimensões para 4.

Passo 3

Agora, para construir essa matriz, precisamos aplicar a transformação nos vetores da base de . Os vetores da base são:
Vamos supor que seja definida de maneira padrão, onde ela mapeia e para vetores em . Sem uma definição específica de , consideramos a transformação identidade expandida, que poderia ser:

Passo 4

Agora, expressamos esses resultados na base de , que é a base canônica:
Como e já estão escritos na base canônica , não precisamos fazer mais nada para expressá-los.

Passo 5

Finalmente, montamos a matriz colocando os vetores e como colunas dessa matriz:

Resposta

A matriz é:

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Seja uma matriz e seja o polinômio característico de . Mostre que e que
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(h)
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a transformação de ?