(d) (1pt) Encontre [T]alpha^beta onde alpha=e1=(1,0), e2=(0,1) e
beta=bare1=(1,0,0,0), bare2=(0,1,0,0), bare3=(0,0,1,0), bare4=(0,0,0,1)
são as bases canônicas de R^2 e R^4, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a matriz de uma transformação linear com relação às bases canônicas de e . Isso envolve conceitos de transformações lineares e representação matricial. Para isso, vamos precisar saber como age sobre os vetores da base e expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, lembremos que a matriz representa a transformação linear de para com respeito às bases e . Essa matriz terá dimensões , já que mapeamos 2 dimensões para 4.

Passo 3

Agora, para construir essa matriz, precisamos aplicar a transformação e1 = 1 0 e e2 = 0 1 nos vetores da base T(e1) = 1 0 0 0 e T(e2) = 0 1 0 0 de . Os vetores da base são:
Vamos supor que seja definida de maneira padrão, onde ela mapeia e para vetores em . Sem uma definição específica de , consideramos a transformação identidade expandida, que poderia ser:

Passo 4

Agora, expressamos esses resultados na base beta = bare1 = 1 0 0 0 , bare2 = 0 1 0 0 , bare3 = 0 0 1 0 , bare4 = 0 0 0 1 de , que é a base canônica:
Como e já estão escritos na base canônica , não precisamos fazer mais nada para expressá-los.

Passo 5

Finalmente, montamos a matriz [T]alpha^beta = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 0 & 0 colocando os vetores e como colunas dessa matriz:

Resposta

A matriz [T]alpha^beta = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 0 & 0 é:

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