Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de . Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre subespaços vetoriais no conjunto das matrizes . O enunciado nos pede para verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes onde , é um subespaço. Se for, também devemos mostrar um conjunto de geradores para ele.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três propriedades:
  1. Conter a matriz zero.
  2. Ser fechado sob adição: se você pegar duas matrizes de e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar qualquer matriz de por um número real, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
  1. Matriz zero: A matriz zero em é . Aqui, , então a matriz zero está em .
  2. Fechamento sob adição: Seja e em . A soma . Note que na soma, o elemento acima e abaixo da diagonal principal são iguais ( ), então também está em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja em e um escalar real. A multiplicação . Aqui, novamente, os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais ( ), então está em .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é de fato um subespaço de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar um conjunto de geradores para . Isso significa encontrar uma base para , ou seja, um conjunto de matrizes que são lineares e que geram todo o subespaço .
Observe que uma matriz genérica em é da forma . Podemos escrever essa matriz como uma combinação linear das seguintes matrizes:
Portanto, o conjunto de geradores é:

Resposta

Sim, é um subespaço de . Um conjunto de geradores para é:

Exercícios relacionados

Os pontos e pertencem à reta de equação , têm abscissas e , respectivamente. A distância entre e é e a ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Determine o valor de .
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(k)
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de . Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(b) .