Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de M2 times 2(R). Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(a) W=[lla & b c & d] ; b=c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre subespaços vetoriais no conjunto das matrizes a & b c & d . O enunciado nos pede para verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes onde , é um subespaço. Se for, também devemos mostrar um conjunto de geradores para ele.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três propriedades:
  1. Conter a matriz zero.
  2. Ser fechado sob adição: se você pegar duas matrizes de e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar qualquer matriz de por um número real, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
  1. Matriz zero: A matriz zero em 0 & 0 0 & 0 é a & b b & d . Aqui, a' & b' b' & d' , então a matriz zero está em a+a' & b+b' b+b' & d+d' .
  2. Fechamento sob adição: Seja a & b b & d e ka & kb kb & kd em . A soma . Note que na soma, o elemento acima e abaixo da diagonal principal são iguais ( ), então também está em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja em e um escalar real. A multiplicação . Aqui, novamente, os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais ( ), então está em .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é de fato um subespaço de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar um conjunto de geradores para a & b b & d . Isso significa encontrar uma base para a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 , ou seja, um conjunto de matrizes que são lineares e que geram todo o subespaço 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 .
Observe que uma matriz genérica em é da forma . Podemos escrever essa matriz como uma combinação linear das seguintes matrizes:
Portanto, o conjunto de geradores é:

Resposta

Sim, 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é um subespaço de . Um conjunto de geradores para é:

Exercícios relacionados