Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre subespaços vetoriais no conjunto das matrizes
. O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
, formado por todas as matrizes
onde
, é um subespaço. Se for, também devemos mostrar um conjunto de geradores para ele.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três propriedades:
- Conter a matriz zero.
- Ser fechado sob adição: se você pegar duas matrizes de
e somar, o resultado também deve estar em . - Ser fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar qualquer matriz de
por um número real, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
-
Matriz zero: A matriz zero em
é . Aqui, , então a matriz zero está em . -
Fechamento sob adição: Seja
e em . A soma . Note que na soma, o elemento acima e abaixo da diagonal principal são iguais ( ), então também está em . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja
em e um escalar real. A multiplicação . Aqui, novamente, os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais ( ), então está em .
Como todas as três propriedades são satisfeitas,
é de fato um subespaço de
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar um conjunto de geradores para
. Isso significa encontrar uma base para
, ou seja, um conjunto de matrizes que são lineares e que geram todo o subespaço
.
Observe que uma matriz genérica em
é da forma
. Podemos escrever essa matriz como uma combinação linear das seguintes matrizes:
Portanto, o conjunto de geradores é:
Resposta
Sim,
é um subespaço de
. Um conjunto de geradores para
é: