Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de . Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre subespaços vetoriais no conjunto das matrizes . O enunciado nos pede para verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes onde , é um subespaço. Se for, também devemos mostrar um conjunto de geradores para ele.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três propriedades:
Conter a matriz zero.
Ser fechado sob adição: se você pegar duas matrizes de e somar, o resultado também deve estar em .
Ser fechado sob multiplicação por escalar: se você multiplicar qualquer matriz de por um número real, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades:
Matriz zero: A matriz zero em é . Aqui, , então a matriz zero está em .
Fechamento sob adição: Seja e em . A soma . Note que na soma, o elemento acima e abaixo da diagonal principal são iguais (), então também está em .
Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja em e um escalar real. A multiplicação . Aqui, novamente, os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais (), então está em .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é de fato um subespaço de .
Passo 4
Agora, vamos encontrar um conjunto de geradores para . Isso significa encontrar uma base para , ou seja, um conjunto de matrizes que são lineares e que geram todo o subespaço .
Observe que uma matriz genérica em é da forma . Podemos escrever essa matriz como uma combinação linear das seguintes matrizes:
Portanto, o conjunto de geradores é:
Resposta
Sim, é um subespaço de . Um conjunto de geradores para é: