Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício da matriz © que é:
A gente precisa descobrir várias coisas sobre essa matriz, como autovalores, autovetores, determinante, traço, entre outros. Para isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, a gente vai entender juntos passo a passo!
Passo 2
I. Encontrando os Autovalores e Autoespaços
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por:
Onde
é a matriz dada,
são os autovalores que queremos encontrar, e
é a matriz identidade.
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Então:
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o único autovalor é
.
Agora, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores que correspondem a esse autovalor.
Substituímos
na equação
:
$$
$$
Isso resulta nas equações:
Ou seja,
. Portanto, o autoespaço é formado por todos os vetores da forma
, onde
é um número real qualquer.
Passo 3
II. Exibindo um Autovetor para o Autovalor Encontrado
Como vimos que os autovetores são da forma
, podemos escolher qualquer valor para
diferente de zero. Vamos escolher
para facilitar:
Então, um autovetor é
.
Passo 4
III. Encontrando os Autovalores da Inversa da Matriz
Sabemos que se
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
. Como nosso único autovalor é
, o autovalor da inversa será:
Então, os autovalores de
são
.
Passo 5
IV. Determinando os Autovalores das Quartas Potências da Matriz
Para encontrar os autovalores das quartas potências de
, usamos a propriedade de que se
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
, onde
é um número inteiro positivo.
Aqui, queremos
, então:
Portanto, os autovalores das quartas potências de
são
.
Passo 6
V. Calculando o Determinante da Matriz Usando Autovalores
O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Como temos dois autovalores iguais a
, o determinante será:
Então, o determinante de
é
.
Passo 7
VI. Calculando o Traço da Matriz Usando Autovalores
O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Já que temos dois autovalores iguais a
, o traço será:
Portanto, o traço de
é
.
Resposta
Para a matriz
:
I. Autovalor:
com autoespaço formado por vetores da forma
.
II. Autovetor:
.
III. Autovalores da inversa:
.
IV. Autovalores das quartas potências:
.
V. Determinante:
.
VI. Traço:
.
Exercícios relacionados
Determine as regiões do plano:
Prove que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Sugestão: considere o triângulo com um dos lados sobre o eixo
e com um dos vértices sobre o eixo
.
As equações de duas retas do plano cartesiano são
e
. Sabe-se que
e s são paralelas. Determine a distância entre elas. Resp.:
.
Seja
uma matriz
. Se
e
, quais são os autovalores de
?