Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício da matriz © que é:
A gente precisa descobrir várias coisas sobre essa matriz, como autovalores, autovetores, determinante, traço, entre outros. Para isso, vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores da álgebra linear. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, a gente vai entender juntos passo a passo!

Passo 2

I. Encontrando os Autovalores e Autoespaços
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz dada, são os autovalores que queremos encontrar, e é a matriz identidade.
Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo os termos:
Então:
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o único autovalor é .
Agora, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores que correspondem a esse autovalor.
Substituímos na equação :

$$


$$
Isso resulta nas equações:
Ou seja, . Portanto, o autoespaço é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.

Passo 3

II. Exibindo um Autovetor para o Autovalor Encontrado
Como vimos que os autovetores são da forma , podemos escolher qualquer valor para diferente de zero. Vamos escolher para facilitar:
Então, um autovetor é .

Passo 4

III. Encontrando os Autovalores da Inversa da Matriz
Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de . Como nosso único autovalor é , o autovalor da inversa será:
Então, os autovalores de são .

Passo 5

IV. Determinando os Autovalores das Quartas Potências da Matriz
Para encontrar os autovalores das quartas potências de , usamos a propriedade de que se é um autovalor de , então é um autovalor de , onde é um número inteiro positivo.
Aqui, queremos , então:
Portanto, os autovalores das quartas potências de são .

Passo 6

V. Calculando o Determinante da Matriz Usando Autovalores
O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Como temos dois autovalores iguais a , o determinante será:
Então, o determinante de é .

Passo 7

VI. Calculando o Traço da Matriz Usando Autovalores
O traço de uma matriz é a soma de seus autovalores. Já que temos dois autovalores iguais a , o traço será:
Portanto, o traço de é .

Resposta

Para a matriz :
I. Autovalor: com autoespaço formado por vetores da forma .
II. Autovetor: .
III. Autovalores da inversa: .
IV. Autovalores das quartas potências: .
V. Determinante: .
VI. Traço: .

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Seja uma matriz . Se e , quais são os autovalores de ?