Determine as regiões do plano: (x, y) in R^2 /-x>y+3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para determinar as regiões do plano que satisfazem a desigualdade . Vamos precisar usar conhecimentos de inequações e entender como representar isso graficamente no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o -x > y + 3 na desigualdade para facilitar a visualização. A gente tem:
0 > y + 3 + x
Vamos somar y + x + 3 < 0 em ambos os lados para deixar o y < -x - 3 sozinho:
Ou seja:
Agora, subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

Legal, agora a desigualdade está na forma y = -x - 3 , o que nos dá uma linha reta que serve como limite para a região que estamos procurando. Essa linha é dada pela equação:

Passo 4

Vamos analisar essa linha. O coeficiente de é , então a inclinação da reta é , e o termo constante é , que representa o ponto onde a reta intercepta o eixo . Então, a reta cruza o eixo no ponto .

Passo 5

Como a desigualdade é , estamos procurando a região que fica abaixo da reta . Isso porque queremos todos os pontos onde é menor que .

Passo 6

Além disso, como a desigualdade é estrita ( e não ), a própria reta não faz parte da solução. Ou seja, a região da solução está totalmente abaixo da reta, sem incluir a própria linha.

Resposta

As regiões do plano que satisfazem a desigualdade correspondem a todos os pontos que ficam abaixo da reta no plano cartesiano. A reta serve como limite, mas não está incluída na região.

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