As equações de duas retas do plano cartesiano são x-y+2=0 e x+ky+k-1=0. Sabe-se que r e s são paralelas. Determine a distância entre elas. Resp.: 2raiz2.

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas retas no plano cartesiano: e . Nosso objetivo é encontrar a distância entre essas duas retas sabendo que elas são paralelas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como identificar se duas retas são paralelas e como calcular a distância entre elas usando a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que as retas são realmente paralelas. Para isso, a gente olha os coeficientes das variáveis 1 = -1k e k = -1 nas equações das retas. Se as retas forem paralelas, os coeficientes de e devem ser proporcionais.
A primeira reta é , que podemos reescrever como .
A segunda reta é , que podemos reescrever como .
Comparando os coeficientes, para serem paralelas, o coeficiente de na primeira reta deve ser igual ao da segunda reta, ou seja:
Resolvendo para :
Então, garante que as retas sejam paralelas.

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos reescrever as equa��ões das retas com esse valor:
Primeira reta: .
Segunda reta: (substituindo na equação original).

Passo 4

Para encontrar a distância entre duas retas paralelas, a gente usa a fórmula:
d = |C2 - C1|raizA^2 + B^2
Onde as equações das retas estão na forma .
Vamos identificar os valores de , e para as duas retas.
Primeira reta: , , .
Segunda reta: , , .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da distância:
d = |-2 - 2|raiz1^2 + (-1)^2 = |-4|raiz1 + 1 = 4raiz2 = 4raiz2 times raiz2raiz2 = 4raiz22 = 2raiz2

Resposta

A distância entre as duas retas é .

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