Prove que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Sugestão: considere o triângulo com um dos lados sobre o eixo
e com um dos vértices sobre o eixo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria que pede para provar que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Para isso, vamos precisar entender o que é um triângulo isósceles, o que são medianas e usar um pouco de coordinate geometry (geometria analítica).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um triângulo isósceles é aquele que tem pelo menos dois lados de igual comprimento. Esses lados iguais são chamados de lados congruentes, e o ângulo formado entre eles é o ângulo do vértice. A base é o lado diferente.
Passo 3
Uma mediana de um triângulo é um segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Em qualquer triângulo, existem três medianas, e elas se encontram no baricentro.
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano conforme a sugestão:
- Colocamos a base do triângulo sobre o eixo
. - O vértice oposto à base fica sobre o eixo
.
Vamos supor que os pontos sejam:
-
-
(base no eixo ) -
(vértice no eixo )
Passo 5
Agora, vamos encontrar as medianas que partem dos vértices
e
.
-
Mediana de
até o ponto médio de : - Coordenadas de
e . - Ponto médio
de : - Equação da mediana
.
- Coordenadas de
-
Mediana de
até o ponto médio de : - Coordenadas de
e . - Ponto médio
de : - Equação da mediana
.
- Coordenadas de
Passo 6
Vamos calcular a distância de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos:
-
Distância de
a : -
Distância de
a :
Resposta
As duas medianas calculadas
e
têm a mesma medida:
Portanto, provamos que duas medianas de um triângulo isósceles são iguais em comprimento.
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Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é estável ou instável?
Verifique se os subconjuntos dados são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba um conjunto de geradores.
(b) .
(b)
Determine as regiões do plano:
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©