Prove que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Sugestão: considere o triângulo com um dos lados sobre o eixo e com um dos vértices sobre o eixo .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que pede para provar que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Para isso, vamos precisar entender o que é um triângulo isósceles, o que são medianas e usar um pouco de coordinate geometry (geometria analítica).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um triângulo isósceles é aquele que tem pelo menos dois lados de igual comprimento. Esses lados iguais são chamados de lados congruentes, e o ângulo formado entre eles é o ângulo do vértice. A base é o lado diferente.

Passo 3

Uma mediana de um triângulo é um segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Em qualquer triângulo, existem três medianas, e elas se encontram no baricentro.

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano conforme a sugestão:
  • Colocamos a base do triângulo sobre o eixo .
  • O vértice oposto à base fica sobre o eixo .
Vamos supor que os pontos sejam:
  • (base no eixo )
  • (vértice no eixo )

Passo 5

Agora, vamos encontrar as medianas que partem dos vértices e .
  1. Mediana de até o ponto médio de :
    • Coordenadas de e .
    • Ponto médio de :
    • Equação da mediana .
  2. Mediana de até o ponto médio de :
    • Coordenadas de e .
    • Ponto médio de :
    • Equação da mediana .

Passo 6

Vamos calcular a distância de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos:
  1. Distância de a :
  2. Distância de a :

Resposta

As duas medianas calculadas e têm a mesma medida:
Portanto, provamos que duas medianas de um triângulo isósceles são iguais em comprimento.

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II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
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IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
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VI. Seu traço, usando autovalores.
©