Prove que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Sugestão: considere o triângulo com um dos lados sobre o eixo
e com um dos vértices sobre o eixo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria que pede para provar que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Para isso, vamos precisar entender o que é um triângulo isósceles, o que são medianas e usar um pouco de coordinate geometry (geometria analítica).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um triângulo isósceles é aquele que tem pelo menos dois lados de igual comprimento. Esses lados iguais são chamados de lados congruentes, e o ângulo formado entre eles é o ângulo do vértice. A base é o lado diferente.
Passo 3
Uma mediana de um triângulo é um segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Em qualquer triângulo, existem três medianas, e elas se encontram no baricentro.
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano conforme a sugestão:
- Colocamos a base do triângulo sobre o eixo
. - O vértice oposto à base fica sobre o eixo
.
Vamos supor que os pontos sejam:
-
-
(base no eixo ) -
(vértice no eixo )
Passo 5
Agora, vamos encontrar as medianas que partem dos vértices
e
.
-
Mediana de
até o ponto médio de : - Coordenadas de
e . - Ponto médio
de : - Equação da mediana
.
- Coordenadas de
-
Mediana de
até o ponto médio de : - Coordenadas de
e . - Ponto médio
de : - Equação da mediana
.
- Coordenadas de
Passo 6
Vamos calcular a distância de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos:
-
Distância de
a : -
Distância de
a :
Resposta
As duas medianas calculadas
e
têm a mesma medida:
Portanto, provamos que duas medianas de um triângulo isósceles são iguais em comprimento.