Prove que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Sugestão: considere o triângulo com um dos lados sobre o eixo x e com um dos vértices sobre o eixo y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que pede para provar que duas medianas de um triângulo isósceles têm a mesma medida. Para isso, vamos precisar entender o que é um triângulo isósceles, o que são medianas e usar um pouco de coordinate geometry (geometria analítica).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um triângulo isósceles é aquele que tem pelo menos dois lados de igual comprimento. Esses lados iguais são chamados de lados congruentes, e o ângulo formado entre eles é o ângulo do vértice. A base é o lado diferente.

Passo 3

Uma mediana de um triângulo é um segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Em qualquer triângulo, existem três medianas, e elas se encontram no baricentro.

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano conforme a sugestão:
  • Colocamos a base do triângulo sobre o eixo .
  • O vértice oposto à base fica sobre o eixo .
Vamos supor que os pontos sejam:
  • (base no eixo )
  • (vértice no eixo )

Passo 5

Agora, vamos encontrar as medianas que partem dos vértices M1(a + 02, 0 + b2) = (a2, b2) e M2(-a + 02, 0 + b2) = (-a2, b2) .
  1. Mediana de até o ponto médio de :
    • Coordenadas de e .
    • Ponto médio de :
    • Equação da mediana .
  2. Mediana de até o ponto médio de :
    • Coordenadas de e .
    • Ponto médio de :
    • Equação da mediana .

Passo 6

Vamos calcular a distância de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
  1. Distância de dAM1 = raiz(a2 - (-a))^2 + (b2 - 0)^2 = raiz(3a2)^2 + (b2)^2 = raiz9a^24 + b^24 = raiz9a^2 + b^24 = raiz9a^2 + b^22 a dBM2 = raiz(-a2 - a)^2 + (b2 - 0)^2 = raiz(-3a2)^2 + (b2)^2 = raiz9a^24 + b^24 = raiz9a^2 + b^24 = raiz9a^2 + b^22 :
  2. Distância de a :

Resposta

As duas medianas calculadas raiz9a^2 + b^22 e têm a mesma medida:
Portanto, provamos que duas medianas de um triângulo isósceles são iguais em comprimento.

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