Seja
uma matriz
. Se
e
, quais são os autovalores de
?
Passo 1
Beleza! Temos uma matriz
de ordem
com traço
e determinante
. Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e às propriedades do traço e determinante.
Passo 2
Primeiro, lembre que para uma matriz
, os autovalores
e
satisfazem as seguintes relações:
e
Passo 3
Agora, temos um sistema de equações:
Isso nos lembra das soluções de uma equação quadrática. Podemos pensar em
como as raízes da seguinte equação:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Simplificando a raiz:
Portanto:
Passo 6
Calculando as duas soluções:
Para a soma:
Para a subtração:
Resposta
Os autovalores de
são
e
.
Exercícios relacionados
As equações de duas retas do plano cartesiano são
e
. Sabe-se que
e s são paralelas. Determine a distância entre elas. Resp.:
.
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©
Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção:
;
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?