Seja
uma matriz
. Se
e
, quais são os autovalores de
?
Passo 1
Beleza! Temos uma matriz
de ordem
com traço
e determinante
. Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e às propriedades do traço e determinante.
Passo 2
Primeiro, lembre que para uma matriz
, os autovalores
e
satisfazem as seguintes relações:
e
Passo 3
Agora, temos um sistema de equações:
Isso nos lembra das soluções de uma equação quadrática. Podemos pensar em
como as raízes da seguinte equação:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Simplificando a raiz:
Portanto:
Passo 6
Calculando as duas soluções:
Para a soma:
Para a subtração:
Resposta
Os autovalores de
são
e
.