Seja uma matriz . Se e , quais são os autovalores de ?

Passo 1

Beleza! Temos uma matriz de ordem com traço e determinante . Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e às propriedades do traço e determinante.

Passo 2

Primeiro, lembre que para uma matriz , os autovalores e satisfazem as seguintes relações:
e

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações:
Isso nos lembra das soluções de uma equação quadrática. Podemos pensar em como as raízes da seguinte equação:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Simplificando a raiz:
Portanto:

Passo 6

Calculando as duas soluções:
Para a soma:
Para a subtração:

Resposta

Os autovalores de são e .

Exercícios relacionados

As equações de duas retas do plano cartesiano são e . Sabe-se que e s são paralelas. Determine a distância entre elas. Resp.: .
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
©
Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção: ;
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?