Seja A uma matriz 2 times 2. Se tr(A)=8 e det(A)=12, quais são os autovalores de A?

Passo 1

Beleza! Temos uma matriz A de ordem 2 times 2 com traço tr(A) = 8 e determinante det(A) = 12. Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e às propriedades do traço e determinante.

Passo 2

Primeiro, lembre que para uma matriz 2 times 2, os autovalores lambda1 e lambda2 satisfazem as seguintes relações:
lambda1 + lambda2 = tr(A) = 8
e
lambda1 cdot lambda2 = det(A) = 12

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações:
lambda1 + lambda2 = 8
lambda1 cdot lambda2 = 12
Isso nos lembra das soluções de uma equação quadrática. Podemos pensar em lambda como as raízes da seguinte equação:
lambda^2 - (tr(A)) lambda + det(A) = 0
Substituindo os valores:
lambda^2 - 8lambda + 12 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 8 pm raiz8^2 - 4 cdot 1 cdot 122 cdot 1 = 8 pm raiz64 - 482 = 8 pm raiz162

Passo 5

Simplificando a raiz:
raiz16 = 4
Portanto:
lambda = 8 pm 42

Passo 6

Calculando as duas soluções:
Para a soma: 8 + 42 = 122 = 6
Para a subtração: 8 - 42 = 42 = 2

Resposta

Os autovalores de A são 6 e 2.

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