Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz . A gente vai trabalhar com autovalores, autovetores, inversas, potências, determinante e traço. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores resolvendo polinômio característico, calcular autovetores, e usar propriedades de autovalores em matrizes inversas e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, a gente precisa resolver o determinante da matriz menos vezes a identidade igual a zero:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para , substituímos na equação :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher .
Para :
Isso nos dá , ou seja, . Podemos escolher .

Passo 4

Vamos agora encontrar os autovalores da inversa da matriz. Sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de . Assim:

Passo 5

Agora, os autovalores das quartas potências da matriz. Se é um autovalor de , então é um autovalor de . Assim:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de é o produto dos seus autovalores:

Passo 7

Por último, vamos calcular o traço da matriz, que é a soma dos autovalores:
ç

Resposta

I. Autovalores: e ; Autoespaços correspondentes: e .
II. Autovetores: para e para .
III. Autovalores da inversa: e .
IV. Autovalores das quartas potências: e .
V. Determinante: .
VI. Traço: .

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