Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz
. A gente vai trabalhar com autovalores, autovetores, inversas, potências, determinante e traço. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores resolvendo polinômio característico, calcular autovetores, e usar propriedades de autovalores em matrizes inversas e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, a gente precisa resolver o determinante da matriz menos
vezes a identidade igual a zero:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para
, substituímos na equação
:
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
.
Para
:
Isso nos dá
, ou seja,
. Podemos escolher
.
Passo 4
Vamos agora encontrar os autovalores da inversa da matriz. Sabemos que se
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
. Assim:
Passo 5
Agora, os autovalores das quartas potências da matriz. Se
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
. Assim:
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de
é o produto dos seus autovalores:
Passo 7
Por último, vamos calcular o traço da matriz, que é a soma dos autovalores:
Resposta
I. Autovalores:
e
; Autoespaços correspondentes:
e
.
II. Autovetores: para
e
para
.
III. Autovalores da inversa: e
.
IV. Autovalores das quartas potências: e
.
V. Determinante: .
VI. Traço: .
II. Autovetores:
III. Autovalores da inversa:
IV. Autovalores das quartas potências:
V. Determinante:
VI. Traço:
Exercícios relacionados
Determine a equação da bissetriz dos ângulos entre as seguintes retas:
e
. Resp.:
e
.
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
Consideremos a reta
. Determine o ponto
dessa reta mais próximo da origem dos eixos coordenados. resp.:
.
Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.