Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a) (ll3 & 2 4 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a matriz 3 & 2 4 & 1 . A gente vai trabalhar com autovalores, autovetores, inversas, potências, determinante e traço. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores resolvendo polinômio característico, calcular autovetores, e usar propriedades de autovalores em matrizes inversas e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, a gente precisa resolver o determinante da matriz menos det( 3-lambda & 2 4 & 1-lambda ) = 0 vezes a identidade igual a zero:
(3-lambda)(1-lambda) - (4)(2) = 0 (3-lambda)(1-lambda) - 8 = 0 3 - 3lambda - lambda + lambda^2 - 8 = 0 lambda^2 -4lambda -5 = 0
Calculando o determinante:
lambda = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para -2 & 2 4 & -4 v1 v2 = 0 0 , substituímos na equação 1 1 :
4 & 2 4 & 2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação 1 -2 , ou seja, . Podemos escolher .
Para :
Isso nos dá , ou seja, . Podemos escolher .

Passo 4

Vamos agora encontrar os autovalores da inversa da matriz. Sabemos que se lambda1^-1 = 15, lambda2^-1 = -1 é um autovalor de , então é um autovalor de . Assim:

Passo 5

Agora, os autovalores das quartas potências da matriz. Se lambda1^4 = 5^4 = 625, lambda2^4 = (-1)^4 = 1 é um autovalor de , então é um autovalor de . Assim:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de det(A) = lambda1 times lambda2 = 5 times (-1) = -5 é o produto dos seus autovalores:

Passo 7

Por último, vamos calcular o traço da matriz, que é a soma dos autovalores:
Traço(A) = lambda1 + lambda2 = 5 + (-1) = 4 ç

Resposta

I. Autovalores: 1 1 e 1 -2; Autoespaços correspondentes: 1 1 e 1 -2.
II. Autovetores: para e para .
III. Autovalores da inversa: e .
IV. Autovalores das quartas potências: e .
V. Determinante: .
VI. Traço: .

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