Consideremos a reta . Determine o ponto dessa reta mais próximo da origem dos eixos coordenados. resp.: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos o ponto na reta que está mais próximo da origem dos eixos coordenados. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos e o conceito de projeção de um ponto sobre uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos e no plano cartesiano é dada pela fórmula:
Como queremos a distância entre a origem e um ponto na reta , a fórmula fica:

Passo 3

Sabemos que a reta dada é . Vamos substituir na fórmula da distância:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a minimização da distância.

Passo 4

Expandindo a expressão dentro da raiz:
Então, a distância fica:

Passo 5

Para encontrar o ponto mais próximo, queremos minimizar . Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar :
Vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a zero para encontrar o valor de que minimiza a distância.

Passo 6

Calculando a derivada de :
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação da reta para encontrar :

Resposta

O ponto da reta mais próximo da origem é .

Exercícios relacionados

Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
Determine a equação da bissetriz dos ângulos entre as seguintes retas: e . Resp.: e .
Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.
A reta passa pelo ponto e tem uma inclinação . Determine uma equação da reta que passa pelo ponto e forma um ângulo de com a reta . resp.: