Consideremos a reta y=-2x+2. Determine o ponto P0=(x0, y0) dessa reta mais próximo da origem dos eixos coordenados. resp.: (4 / 5,2 / 5).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos o ponto na reta que está mais próximo da origem dos eixos coordenados. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos e o conceito de projeção de um ponto sobre uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raizx^2 + y^2 no plano cartesiano é dada pela fórmula:
Como queremos a distância entre a origem e um ponto na reta , a fórmula fica:

Passo 3

Sabemos que a reta dada é d = raizx^2 + (-2x + 2)^2 . Vamos substituir na fórmula da distância:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a minimização da distância.

Passo 4

Expandindo a expressão dentro da raiz:
(-2x + 2)^2 = 4x^2 - 8x + 4
Então, a distância fica:
d = raizx^2 + 4x^2 - 8x + 4 = raiz5x^2 - 8x + 4

Passo 5

Para encontrar o ponto mais próximo, queremos minimizar d^2 = 5x^2 - 8x + 4 . Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar :
Vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a zero para encontrar o valor de que minimiza a distância.

Passo 6

Calculando a derivada de ddx(d^2) = 10x - 8 :
10x - 8 = 0 implies 10x = 8 implies x = 810 = 45
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Agora que encontramos y = -2(45) + 2 = -85 + 2 = -85 + 105 = 25 , vamos substituir esse valor na equação da reta para encontrar :

Resposta

O ponto da reta mais próximo da origem é .

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