Consideremos a reta
. Determine o ponto
dessa reta mais próximo da origem dos eixos coordenados. resp.:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos o ponto
na reta
que está mais próximo da origem dos eixos coordenados. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos e o conceito de projeção de um ponto sobre uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos
e
no plano cartesiano é dada pela fórmula:
Como queremos a distância entre a origem
e um ponto na reta
, a fórmula fica:
Passo 3
Sabemos que a reta dada é
. Vamos substituir
na fórmula da distância:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a minimização da distância.
Passo 4
Expandindo a expressão dentro da raiz:
Então, a distância fica:
Passo 5
Para encontrar o ponto mais próximo, queremos minimizar
. Como a raiz quadrada é uma função crescente, podemos minimizar
:
Vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a zero para encontrar o valor de
que minimiza a distância.
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação da reta para encontrar
:
Resposta
O ponto
da reta
mais próximo da origem é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
Determine a equação da bissetriz dos ângulos entre as seguintes retas:
e
. Resp.:
e
.
Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.
A reta
passa pelo ponto
e tem uma inclinação
. Determine uma equação da reta
que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com a reta
. resp.: