Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que pega um par de números e transforma em outro par . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa transformação linear e qual é a sua dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação e como determinar a dimensão dessa imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se é linear, então para quaisquer vetores e e qualquer escalar , temos:

Passo 3

A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a qualquer vetor do espaço de partida. No nosso caso, a imagem de será o conjunto de todos os pares que conseguimos obter variando e em .

Passo 4

Para encontrar a imagem, precisamos expressar e em termos de e . Supondo que , onde e são combinações lineares de e , podemos representar isso como:
onde são constantes.

Passo 5

A imagem é então o conjunto de todos os vetores que podem ser formados dessa maneira. Isso essencialmente descreve um subespaço do espaço de chegada, que neste caso é .

Passo 6

A dimensão da imagem de é chamada de posto da transformação . Para determinar o posto, podemos montar a matriz associada à transformação :
A dimensão da imagem é igual ao número de colunas dessa matriz que são linearmente independentes, ou seja, o posto da matriz.

Passo 7

Se a matriz tiver posto 2, isso significa que os vetores e são linearmente independentes e, portanto, a imagem de é todo o espaço . Se o posto for 1, a imagem será uma linha passando pela origem no espaço .

Resposta

A imagem da transformação linear é o conjunto de todos os pares possíveis, e sua dimensão corresponde ao posto da matriz associada a . Se o posto for 2, a imagem é com dimensão 2; se for 1, a imagem é uma linha com dimensão 1.

Exercícios relacionados

Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção: ;
Seja uma matriz . Se e , quais são os autovalores de ?
Determine a equação da bissetriz dos ângulos entre as seguintes retas: e . Resp.: e .
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)