Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
que pega um par de números
e transforma em outro par
. Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa transformação linear e qual é a sua dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa a imagem de uma transformação e como determinar a dimensão dessa imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se
é linear, então para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, temos:
Passo 3
A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a qualquer vetor do espaço de partida. No nosso caso, a imagem de
será o conjunto de todos os pares
que conseguimos obter variando
e
em
.
Passo 4
Para encontrar a imagem, precisamos expressar
e
em termos de
e
. Supondo que
, onde
e
são combinações lineares de
e
, podemos representar isso como:
onde
são constantes.
Passo 5
A imagem
é então o conjunto de todos os vetores
que podem ser formados dessa maneira. Isso essencialmente descreve um subespaço do espaço de chegada, que neste caso é
.
Passo 6
A dimensão da imagem de
é chamada de posto da transformação
. Para determinar o posto, podemos montar a matriz associada à transformação
:
A dimensão da imagem é igual ao número de colunas dessa matriz que são linearmente independentes, ou seja, o posto da matriz.
Passo 7
Se a matriz
tiver posto 2, isso significa que os vetores
e
são linearmente independentes e, portanto, a imagem de
é todo o espaço
. Se o posto for 1, a imagem será uma linha passando pela origem no espaço
.
Resposta
A imagem da transformação linear
é o conjunto de todos os pares
possíveis, e sua dimensão corresponde ao posto da matriz associada a
. Se o posto for 2, a imagem é
com dimensão 2; se for 1, a imagem é uma linha com dimensão 1.
Exercícios relacionados
Encontre a posição relativa das duas retas a seguir, indicando, se for o caso, o ponto de interseção:
;
Seja
uma matriz
. Se
e
, quais são os autovalores de
?
Determine a equação da bissetriz dos ângulos entre as seguintes retas:
e
. Resp.:
e
.
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)