Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal dessa matriz. Para fazer isso, vamos precisar saber o que são autovalores e matrizes triangulares.
  • Autovalores: São valores λ que satisfazem a equação , onde é a matriz, e é um vetor não nulo chamado de autovetor.
  • Matriz triangular: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo (triangular inferior) ou acima (triangular superior) da diagonal principal são zero.
Vamos focar em matrizes triangulares superiores, mas o raciocínio é similar para as inferiores.

Passo 2

Primeiro, lembremos que os autovalores de uma matriz são as raízes do seu polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade.
Para uma matriz triangular superior, a matriz também será triangular superior, já que subtrair apenas dos elementos da diagonal principal não altera a estrutura triangular.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de uma matriz triangular. Uma propriedade importante é que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Então, para triangular superior, temos:
onde são os elementos da diagonal principal de .

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos :
Isso significa que para cada fator , temos .

Passo 5

Portanto, os valores de que satisfazem a equação são exatamente os elementos da diagonal principal de .

Resposta

Assim, mostramos que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal dessa matriz.

Exercícios relacionados

Consideremos a reta . Determine o ponto dessa reta mais próximo da origem dos eixos coordenados. resp.: .
Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a)
A reta passa pelo ponto e tem uma inclinação . Determine uma equação da reta que passa pelo ponto e forma um ângulo de com a reta . resp.:
Determine gráfico da parábola de equação