Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal dessa matriz. Para fazer isso, vamos precisar saber o que são autovalores e matrizes triangulares.
  • Autovalores: São valores λ que satisfazem a equação , onde é a matriz, e é um vetor não nulo chamado de autovetor.
  • Matriz triangular: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo (triangular inferior) ou acima (triangular superior) da diagonal principal são zero.
Vamos focar em matrizes triangulares superiores, mas o raciocínio é similar para as inferiores.

Passo 2

Primeiro, lembremos que os autovalores de uma matriz são as raízes do seu polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade.
Para uma matriz triangular superior, a matriz também será triangular superior, já que subtrair apenas dos elementos da diagonal principal não altera a estrutura triangular.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de uma matriz triangular. Uma propriedade importante é que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Então, para det(A - lambda I) = prodi=1^n (aii - lambda) triangular superior, temos:
onde são os elementos da diagonal principal de .

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos prodi=1^n (aii - lambda) = 0 :
Isso significa que para cada fator , temos .

Passo 5

Portanto, os valores de que satisfazem a equação são exatamente os elementos da diagonal principal de .

Resposta

Assim, mostramos que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal dessa matriz.

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