Mostre que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos diagonais da matriz.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal dessa matriz. Para fazer isso, vamos precisar saber o que são autovalores e matrizes triangulares.
- Autovalores: São valores λ que satisfazem a equação
, onde é a matriz, e é um vetor não nulo chamado de autovetor. - Matriz triangular: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo (triangular inferior) ou acima (triangular superior) da diagonal principal são zero.
Vamos focar em matrizes triangulares superiores, mas o raciocínio é similar para as inferiores.
Passo 2
Primeiro, lembremos que os autovalores de uma matriz são as raízes do seu polinômio característico, que é dado por
, onde
é a matriz identidade.
Para uma matriz triangular superior, a matriz
também será triangular superior, já que subtrair
apenas dos elementos da diagonal principal não altera a estrutura triangular.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de uma matriz triangular. Uma propriedade importante é que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Então, para
triangular superior, temos:
onde
são os elementos da diagonal principal de
.
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos
:
Isso significa que para cada fator
, temos
.
Passo 5
Portanto, os valores de
que satisfazem a equação são exatamente os elementos da diagonal principal de
.
Resposta
Assim, mostramos que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal dessa matriz.