Para cada
, seja
dada por
. Mostre que cada
é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que cada função
é limitada para todo
. Isso significa que precisamos provar que existe um valor máximo que
não ultrapassa, não importa o valor de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função se comporta. Temos
. Notamos que essa função é uma razão entre duas expressões envolvendo
. Para encontrar se a função é limitada, precisamos identificar se há algum valor de
que nunca será excedido, independentemente do
.
Passo 3
Uma forma de descobrir isso é encontrando os valores máximos e mínimos da função. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
A derivada de
é:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O numerador deve ser zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Vamos calcular o valor de
nesses pontos críticos:
Similarmente, para
:
Passo 6
Observamos que o valor máximo da função é
e o valor mínimo é
. Portanto, para todo
, temos:
Isso mostra que a função
está limitada entre esses valores.
Resposta
Cada função
é limitada, com valores de
compreendidos entre
e
para todo
.