Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = n*x / (1 + n*x^2). Mostre que cada fn é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que cada função é limitada para todo . Isso significa que precisamos provar que existe um valor máximo que não ultrapassa, não importa o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta. Temos . Notamos que essa função é uma razão entre duas expressões envolvendo . Para encontrar se a função é limitada, precisamos identificar se há algum valor de que nunca será excedido, independentemente do .

Passo 3

Uma forma de descobrir isso é encontrando os valores máximos e mínimos da função. Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
A derivada de é:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
O numerador deve ser zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Vamos calcular o valor de nesses pontos críticos:
Similarmente, para :

Passo 6

Observamos que o valor máximo da função é e o valor mínimo é . Portanto, para todo , temos:
Isso mostra que a função está limitada entre esses valores.

Resposta

Cada função é limitada, com valores de compreendidos entre e para todo .

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