Calcule as seguintes integrais duplas: (i)
onde
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde a região
é o retângulo
. Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar técnicas de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Isso significa que
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a
. Podemos escrever a integral como uma integração iterada, integrando primeiro em
e depois em
:
Passo 3
Vamos integrar a função em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante durante essa integração. A integral de em relação a
é
, onde
é uma constante. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração para
de 1 a 2:
Então, a integral iterada fica:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente em relação a
:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral dupla é
.