Calcule as seguintes integrais duplas: (i) integral duplaR y sen(x y) d x d y onde R=[1,2] times[0, pi]

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região integral duplaR y sen(x y) , dx , dy é o retângulo R. Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar técnicas de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R = [1,2] times [0, pi]. Isso significa que x varia de 1 a 2 e y varia de 0 a pi. Podemos escrever a integral como uma integração iterada, integrando primeiro em x e depois em y:

Passo 3

Vamos integrar a função em relação a y sen(x y). Para isso, tratamos x como uma constante durante essa integração. A integral de em relação a y é sen(kx), onde x é uma constante. Aplicando isso:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para x de 1 a 2:
-cos(2 y) + cos(y)
Então, a integral iterada fica:
integral0^pi [ -cos(2 y) + cos(y) ] , dy

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente em relação a y:
  1. integral -cos(2 y) , dy = -sin(2 y)2 + C
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
Para y = pi:
Para -sin(2 pi)2 + sen(pi) = -02 + 0 = 0 :

Passo 7

Subtraindo os valores:
0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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