Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. f_n: R -> R, f_n(x) = |cos(x)|^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos aqui pede para mostrar que a sequência de funções converge pontualmente e também para verificar se essa convergência é uniforme no domínio dos números reais .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com convergência pontual e convergência uniforme de sequências de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando cresce, especialmente observando os valores de e como eles afetam .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que converge pontualmente para uma função se, para cada ponto específico , o limite de quando tende ao infinito é igual a .
Então, vamos calcular o limite de quando vai para infinito para um valor fixo de .

Passo 3

Vamos analisar :
  1. Se : Nesse caso, quando elevamos um número menor que 1 a uma potência que cresce sem limite ( ), o resultado tende a 0. Ou seja, .
  2. Se : Isso acontece quando , ou seja, quando é múltiplo de (como ). Neste caso, para todo .
Portanto, a função limite será:

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre e pode ser tornada pequena de maneira uniforme para todos os no domínio, independentemente de qual escolhemos.
Para que a convergência seja uniforme, precisamos que:
Vamos ver se isso acontece:
  • Observamos que para próximos a múltiplos de , é próximo de 1, então é próximo de 1 mesmo para grande.
  • Por exemplo, se escolhermos , temos , então para todo .
  • Isso significa que, não importa quão grande seja , sempre há pontos onde está longe de 0, que é o valor limite para a maioria dos pontos.
Portanto, a diferença máxima não tende a 0 uniformemente em todo .

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para:
No entanto, a convergência não é uniforme no domínio , pois sempre existem pontos onde permanece próximo de 1, independentemente de quão grande seja .

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