Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos aqui pede para mostrar que a sequência de funções
converge pontualmente e também para verificar se essa convergência é uniforme no domínio dos números reais
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com convergência pontual e convergência uniforme de sequências de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
cresce, especialmente observando os valores de
e como eles afetam
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que
converge pontualmente para uma função
se, para cada ponto específico
, o limite de
quando
tende ao infinito é igual a
.
Então, vamos calcular o limite de
quando
vai para infinito para um valor fixo de
.
Passo 3
Vamos analisar
:
-
Se
: Nesse caso, quando elevamos um número menor que 1 a uma potência que cresce sem limite ( ), o resultado tende a 0. Ou seja, . -
Se
: Isso acontece quando , ou seja, quando é múltiplo de (como ). Neste caso, para todo .
Portanto, a função limite
será:
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre
e
pode ser tornada pequena de maneira uniforme para todos os
no domínio, independentemente de qual
escolhemos.
Para que a convergência seja uniforme, precisamos que:
Vamos ver se isso acontece:
- Observamos que para
próximos a múltiplos de , é próximo de 1, então é próximo de 1 mesmo para grande. - Por exemplo, se escolhermos
, temos , então para todo . - Isso significa que, não importa quão grande seja
, sempre há pontos onde está longe de 0, que é o valor limite para a maioria dos pontos.
Portanto, a diferença máxima
não tende a 0 uniformemente em todo
.
Resposta
A sequência de funções
converge pontualmente para:
No entanto, a convergência não é uniforme no domínio
, pois sempre existem pontos onde
permanece próximo de 1, independentemente de quão grande seja
.