Para cada
, seja
dada por
. Mostre que
converge pontualmente para uma função ilimitada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência de funções
definidas por
para cada
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência de funções converge pontualmente para uma função
que não é limitada. Para isso, vamos precisar entender o conceito de convergência pontual e analisar o limite de
quando
tende ao infinito para cada valor fixo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência pontual. Dizemos que a sequência de funções
converge pontualmente para
em um ponto
se, para esse
, o limite
existe. Isso precisa ser verdadeiro para cada
no domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
. Vamos fazer isso considerando dois casos diferentes para
: quando
e quando
.
Passo 4
Caso 1:
Substituindo
na função, temos:
Portanto,
.
Passo 5
Caso 2:
Para
, vamos analisar o limite de
:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
para simplificar:
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
:
Então, o denominador
tende a
. Assim, temos:
Portanto, para
,
.
Passo 6
Agora, juntando os dois casos, podemos definir a função limite
da seguinte forma:
Essa função não é limitada, pois conforme
se aproxima de zero,
cresce sem limite.
Resposta
A sequência de funções
converge pontualmente para a função
definida por:
Essa função
é ilimitada.