Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = n*x / (1 + n*x^2). Mostre que f_n, n ≥ 1 converge pontualmente para uma função ilimitada f: R -> R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência de funções definidas por para cada . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência de funções converge pontualmente para uma função que não é limitada. Para isso, vamos precisar entender o conceito de convergência pontual e analisar o limite de quando tende ao infinito para cada valor fixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência pontual. Dizemos que a sequência de funções converge pontualmente para em um ponto se, para esse , o limite existe. Isso precisa ser verdadeiro para cada no domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Vamos fazer isso considerando dois casos diferentes para : quando e quando .

Passo 4

Caso 1:
Substituindo na função, temos:
Portanto, .

Passo 5

Caso 2:
Para , vamos analisar o limite de :
Podemos dividir o numerador e o denominador por para simplificar:
Agora, vamos analisar o comportamento de quando :
Então, o denominador tende a . Assim, temos:
Portanto, para , .

Passo 6

Agora, juntando os dois casos, podemos definir a função limite da seguinte forma:
Essa função não é limitada, pois conforme se aproxima de zero, cresce sem limite.

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para a função definida por:
Essa função é ilimitada.

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