Calcule as seguintes integrais duplas: (a) integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: integral0^1 integral2 y^2 4 e^x^2 , dx , dy. Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo de áreas sob superfícies no plano XY. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos y variando de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 2y a 2. Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração: em vez de integrar primeiro em x e depois em y, vamos integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Para trocar a ordem, precisamos encontrar os novos limites de integração. Observando as desigualdades:
  • 0 <= y <= 1
  • 2y <= x <= 2
Queremos expressar y em termos de x. Da segunda desigualdade, 2y <= x implica que y <= x2. Então, para cada x, y varia de 0 a x2. Além disso, x varia de 0 a 2. Então, a integral fica:
integral0^2 integral0^x2 4 e^x^2 , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integral0^x2 4 e^x^2 , dy = 4 e^x^2 cdot y |0^x2 = 4 e^x^2 cdot x2 = 2 x e^x^2
Então, nossa integral simplifica para:
integral0^2 2 x e^x^2 , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja u = x^2, então du = 2x , dx. Isso transforma a integral em:
integral e^u , du = e^u + C = e^x^2 + C
Agora, avaliamos de 0 a 2:
e^2^2 - e^0^2 = e^4 - 1

Resposta

O valor da integral dupla é e^4 - 1.

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