Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla: . Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo de áreas sob superfícies no plano XY. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de a e, para cada , varia de a . Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração: em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Passo 3
Para trocar a ordem, precisamos encontrar os novos limites de integração. Observando as desigualdades:
Queremos expressar em termos de . Da segunda desigualdade, implica que . Então, para cada , varia de a . Além disso, varia de a . Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Então, nossa integral simplifica para:
integral0^2 2 x e^x^2 , dx
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja u = x^2, então du = 2x , dx. Isso transforma a integral em: