Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = e^(-n x) / n. Mostre que f_n -> 0 em [0, +inf).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para todo número natural , a função converge uniformemente para 0 no intervalo . Isso está dentro do estudo de convergência uniforme de funções em análise matemática. Vamos precisar entender como verificar a convergência uniforme usando a definição e analisar o comportamento de quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é convergência uniforme. Dizemos que converge uniformemente para uma função em um conjunto se, para todo , existe um número tal que, para todo e para todo , vale . No nosso caso, , então precisamos mostrar que para todo quando for suficientemente grande.

Passo 3

Vamos analisar . Como é sempre positivo, podemos trabalhar diretamente com . Queremos que para todo .
Observemos que, para , (já que a exponencial de um número negativo é menor ou igual a 1). Então, temos:
Portanto, se garantirmos que , teremos para todo .

Passo 4

Para que , basta escolher tal que . Assim, para todo , teremos:
Dessa forma, para qualquer e para todo , a desigualdade é satisfeita, o que confirma a convergência uniforme de para 0 no intervalo dado.

Resposta

Portanto, converge uniformemente para 0 em .

Exercícios relacionados