Calcule os limites:
c) lim x 0 x^3 cos (1x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 x^3 cos (1x). Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e polinomiais. Precisamos saber sobre limites de funções multiplicadas e como o cosseno se comporta quando o argumento cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. Sabemos que cos(1x) sempre oscila entre -1 e 1, não importa o valor de x (desde que x neq 0). Então, temos:
-1 <= cos(1x) <= 1

Passo 3

Multiplicando todos os termos por x^3 (que é positivo perto de 0), temos:
- x^3 <= x^3 cos(1x) <= x^3

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com x^3 quando x se aproxima de 0. Claramente, limx to 0 x^3 = 0. Portanto:
limx to 0 -x^3 = 0 e limx to 0 x^3 = 0

Passo 5

Pela regra do sanduíche (ou teorema do aperto), se uma função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Como x^3 cos(1x) está entre -x^3 e x^3, e ambos tendem a 0, concluímos que:
lim x 0 x^3 cos (1x) = 0

Resposta

O limite é 0.

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