Calcule as seguintes integrais duplas: (a) integral duplaD raiz1-y^2 d x d y onde D é a região limitada por x^2+y^2=1 no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral dupla. A questão pede para calcular , onde é a região limitada pelo círculo no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de integrais duplas e geometria de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O círculo é uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Como estamos no primeiro quadrante, tanto quanto são positivos. Então, a região é a parte do círculo onde e , mas limitada pela circunferência.

Passo 3

Agora, vamos reescrever os limites de integração. Para integrar sobre integral0^1 ( integral0^raiz1 - y^2 raiz1 - y^2 , dx ) dy , podemos escolher integrar primeiro em e depois em . Para um valor fixo de , varia de 0 até (resolvendo para ). E varia de 0 a 1. Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^raiz1 - y^2 raiz1 - y^2 , dx = raiz1 - y^2 cdot [ x ]0^raiz1 - y^2 = raiz1 - y^2 cdot raiz1 - y^2 = 1 - y^2 . Note que é uma constante em relação a , então podemos tratá-la como um número durante essa integração:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (1 - y^2) , dy
Essa é uma integral simples em relação a .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (1 - y^2) , dy = [ y - y^33 ]0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23

Resposta

O valor da integral dupla é .

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