Calcule as seguintes integrais duplas: (a)
onde
é a região limitada por
no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral dupla. A questão pede para calcular
, onde
é a região limitada pelo círculo
no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de integrais duplas e geometria de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O círculo
é uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Como estamos no primeiro quadrante, tanto
quanto
são positivos. Então, a região
é a parte do círculo onde
e
, mas limitada pela circunferência.
Passo 3
Agora, vamos reescrever os limites de integração. Para integrar sobre
, podemos escolher integrar primeiro em
e depois em
. Para um valor fixo de
,
varia de 0 até
(resolvendo
para
). E
varia de 0 a 1. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tratá-la como um número durante essa integração:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa é uma integral simples em relação a
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
O valor da integral dupla é
.