Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = x + 1/n. Mostre que a sequência f_n, n ≥ 1 é uniformemente convergente em R, mas (f_n^2)_{n >= 1} não é uniformemente convergente em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a sequência de funções converge de forma uniforme em , mas que a sequência das funções ao quadrado, , não converge de forma uniforme. Vamos usar o conceito de convergência uniforme para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência uniforme. Dizemos que uma sequência de funções converge uniformemente para uma função em um conjunto se, para todo , existe um número tal que para todo e para todo , a diferença .
No nosso caso, a função limite que queremos é aquela para a qual converge quando vai para o infinito. Olhando para , fica claro que, quando cresce, se aproxima de zero. Então, a função limite é .

Passo 3

Vamos verificar a convergência uniforme de para . Calculamos a diferença:
Perceba que essa diferença é independente de . Ou seja, para qualquer , a diferença é sempre .

Passo 4

Agora, para garantir a convergência uniforme, precisamos que essa diferença seja menor que qualquer para suficientemente grande. Como tende a zero quando vai para o infinito, para qualquer , podemos escolher tal que . Portanto, para todo e para todo , temos:
Isso mostra que converge uniformemente para em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a sequência das funções ao quadrado, ou seja, . Vamos expandir essa expressão:
A função limite, nesse caso, seria . Então, a diferença entre e é:

Passo 6

Vamos ver se essa diferença pode ser tornada menor que qualquer de forma uniforme para todo . Observe que:
Aqui, o problema é o termo . Para que essa expressão seja menor que , precisaríamos controlar , mas pode ser qualquer número real, ou seja, pode ser tão grande quanto quisermos. Isso significa que, não importa o quão grande seja , sempre podemos escolher um suficientemente grande para que seja maior ou igual a qualquer .

Passo 7

Como não conseguimos encontrar um que funcione uniformemente para todos os , concluímos que a sequência não converge de forma uniforme para em .

Resposta

A sequência converge uniformemente para em , mas a sequência não converge de forma uniforme em .

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