Para cada , seja dada por . Mostre que a sequência é uniformemente convergente em , mas não é uniformemente convergente em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a sequência de funções converge de forma uniforme em , mas que a sequência das funções ao quadrado, , não converge de forma uniforme. Vamos usar o conceito de convergência uniforme para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência uniforme. Dizemos que uma sequência de funções converge uniformemente para uma função em um conjunto se, para todo , existe um número tal que para todo e para todo , a diferença .
No nosso caso, a função limite que queremos é aquela para a qual converge quando vai para o infinito. Olhando para , fica claro que, quando cresce, se aproxima de zero. Então, a função limite é .
Passo 3
Vamos verificar a convergência uniforme de para . Calculamos a diferença:
Perceba que essa diferença é independente de . Ou seja, para qualquer , a diferença é sempre .
Passo 4
Agora, para garantir a convergência uniforme, precisamos que essa diferença seja menor que qualquer para suficientemente grande. Como tende a zero quando vai para o infinito, para qualquer , podemos escolher tal que . Portanto, para todo e para todo , temos:
Isso mostra que converge uniformemente para em .
Passo 5
Agora, vamos analisar a sequência das funções ao quadrado, ou seja, . Vamos expandir essa expressão:
A função limite, nesse caso, seria . Então, a diferença entre e é:
Passo 6
Vamos ver se essa diferença pode ser tornada menor que qualquer de forma uniforme para todo . Observe que:
Aqui, o problema é o termo . Para que essa expressão seja menor que , precisaríamos controlar , mas pode ser qualquer número real, ou seja, pode ser tão grande quanto quisermos. Isso significa que, não importa o quão grande seja , sempre podemos escolher um suficientemente grande para que seja maior ou igual a qualquer .
Passo 7
Como não conseguimos encontrar um que funcione uniformemente para todos os , concluímos que a sequência não converge de forma uniforme para em .
Resposta
A sequência converge uniformemente para em , mas a sequência não converge de forma uniforme em .