Sabendo que ||u||=5, ||v||=2, <u, v>=-2, <u, w>=1 e ⟨v, w⟩ = 7, calcule:
(a) < 4u, 2v + 3w >.
(b) < 5u - 4v , -u + w >.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produto interno! A gente tem três vetores, , e , com algumas normas e produtos internos dados. Vamos precisar usar as propriedades do produto interno, como a linearidade, pra calcular os produtos pedidos nas partes (a) e (b).

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): .
Primeiro, usamos a propriedade de linearidade no primeiro argumento do produto interno. Isso significa que podemos puxar o escalar para fora:

Passo 3

Agora, aplicamos a linearidade no segundo argumento:

Passo 4

Substituímos os valores dados no enunciado:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): .
Usamos a linearidade no primeiro argumento:

Passo 6

Aplicamos a linearidade no segundo argumento para cada termo:

Passo 7

Calculamos os produtos internos conhecidos. Lembrando que , e :

Resposta

(a)
(b)

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